Теоремы о хордах, секущих и касательной

Определение

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (точку касания).

Три ключевые теоремы связывают произведения отрезков, которые образуют хорды, секущие и касательные, проведённые из одной точки.

Формула/Теорема

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Теорема о произведении отрезков секущих

Если из одной точки $M$ проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно, то:

$MA \cdot MB = MC \cdot MD$

где $MA$ и $MC$ — внешние части секущих (от точки $M$ до ближайшей точки пересечения с окружностью).

Теорема о квадрате касательной

Если из точки $M$ проведены касательная $MA$ и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей на её внешнюю часть:

$MA^2 = MB \cdot MC$

где $MB$ — внешняя часть секущей (от $M$ до ближайшей точки $B$).

Пример

Пример 1. Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. $AM = 3$ см, $MB = 4$ см, $CM = 2$ см. Найдите $MD$.

Дано: $AM = 3$ см, $MB = 4$ см, $CM = 2$ см.

Формула: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Подстановка: $3 \cdot 4 = 2 \cdot MD \Rightarrow MD = \dfrac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: $MD = 6$ см.

Пример 2. Из точки $M$ проведены две секущие. Первая пересекает окружность в точках $A$ и $B$: $A$ — ближняя точка пересечения ($MA = 2$ см, внешняя часть), $B$ — дальняя ($MB = 8$ см, вся секущая). Вторая секущая пересекает окружность в точке $C$ — ближней ($MC = 4$ см, внешняя часть). Найдите $MD$ — расстояние до дальней точки $D$ второй секущей.

Дано: $MA = 2$ см (внешняя часть первой секущей), $MB = 8$ см (вся первая секущая), $MC = 4$ см (внешняя часть второй секущей).

Формула: $MA \cdot MB = MC \cdot MD$.

Подстановка: $2 \cdot 8 = 4 \cdot MD \Rightarrow MD = \dfrac{16}{4} = 4$ см.

Ответ: $MD = 4$ см (вся вторая секущая).

Пример 3. Из точки $M$ к окружности проведены касательная $MA = 6$ см и секущая, внешняя часть которой $MB = 4$ см. Найдите длину всей секущей $MC$.

Дано: $MA = 6$ см, $MB = 4$ см.

Формула: $MA^2 = MB \cdot MC$.

Подстановка: $6^2 = 4 \cdot MC \Rightarrow MC = \dfrac{36}{4} = 9$ см.

Ответ: $MC = 9$ см.

Важно

⚠️ Типичная ошибка: в теореме о секущих брать не всю секущую, а только её внешнюю часть. В формуле $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ величины $MA$ и $MC$ — это внешние части (от точки до ближайшей точки пересечения), а $MB$ и $MD$ — вся секущая. Не путать, какой отрезок какой.

⚠️ Важно: теорема о квадрате касательной — частный случай теоремы о секущих, когда одна из секущих «вырождается» в касательную (обе точки пересечения сливаются в одну). Поэтому $MA^2 = MB \cdot MC$.

⚠️ Важно: все три теоремы — следствия подобия треугольников, образованных хордами/секущими. Если забыл формулу, её можно вывести через подобные треугольники.