Длина окружности и площадь круга

Определение. Окружность и круг

Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки (центра). Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом ($R$). Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр, называется диаметром ($d = 2R$).

Формула. Длина окружности

Отношение длины окружности к её диаметру — постоянная величина, обозначаемая греческой буквой $\pi$ (пи):

$\frac{C}{d} = \pi$

Отсюда получаем формулу длины окружности:

$C = 2\pi R = \pi d$

Число $\pi$ — иррациональное число, $\pi \approx 3.1415926535\ldots$ Для расчётов обычно используют $\pi \approx 3.14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Формула. Площадь круга

Площадь круга радиуса $R$ вычисляется по формуле:

$S = \pi R^2$

Формула. Дуга окружности и сектор

Дуга окружности — часть окружности между двумя точками. Длина дуги, соответствующей центральному углу $n$ (в градусах):

$l = \frac{\pi R n}{180^\circ}$

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Площадь сектора с центральным углом $n$:

$S_{sector} = \frac{\pi R^2 n}{360^\circ}$

Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой. Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой:

$S_{segment} = S_{sector} - S_{triangle}$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$R$	Радиус	Расстояние от центра до окружности
$d$	Диаметр	$d = 2R$
$C$	Длина окружности	Периметр круга
$S$	Площадь круга	Площадь фигуры внутри окружности
$\pi$	Число пи	$\pi \approx 3.14159\ldots$
$n$	Центральный угол	Угол дуги или сектора в градусах
$l$	Длина дуги	Часть длины окружности
$S_{sector}$	Площадь сектора	Площадь части круга между радиусами

Пример 1

Найти длину окружности и площадь круга радиуса $R = 5$.

Дано: $R = 5$

Формула: $C = 2\pi R$, $S = \pi R^2$

Подстановка: $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$; $S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$

Ответ: $C = 10\pi \approx 31.4$, $S = 25\pi \approx 78.5$.

Пример 2

Длина окружности равна $12\pi$. Найти радиус и площадь круга.

Дано: $C = 12\pi$

Формула: $C = 2\pi R \Rightarrow R = \frac{C}{2\pi}$; $S = \pi R^2$

Подстановка: $R = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$; $S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$

Ответ: $R = 6$, $S = 36\pi \approx 113.04$.

Пример 3

Найти длину дуги окружности радиуса $R = 10$, соответствующей центральному углу $n = 72^\circ$, и площадь соответствующего сектора.

Дано: $R = 10$, $n = 72^\circ$

Формула: $l = \frac{\pi R n}{180^\circ}$, $S_{sector} = \frac{\pi R^2 n}{360^\circ}$

Подстановка: $l = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 72}{180} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi$; $S_{sector} = \frac{\pi \cdot 100 \cdot 72}{360} = \frac{7200\pi}{360} = 20\pi$

Ответ: $l = 4\pi \approx 12.56$, $S_{sector} = 20\pi \approx 62.8$.

Пример 4

[ОГЭ ФИПИ] Площадь круга равна $36\pi$. Найти длину окружности, ограничивающей этот круг.

Дано: $S = 36\pi$

Формула: $S = \pi R^2 \Rightarrow R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$; $C = 2\pi R$

Подстановка: $R = \sqrt{\frac{36\pi}{\pi}} = \sqrt{36} = 6$; $C = 2\pi \cdot 6 = 12\pi$

Ответ: $C = 12\pi \approx 37.68$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают радиус и диаметр. Если в задаче дан диаметр, не забудь разделить его на 2, чтобы получить радиус. Формулы $C = 2\pi R$ и $S = \pi R^2$ работают с радиусом!

⚠️ Важно: длина дуги — это часть длины окружности, пропорциональная углу. Полный круг — $360^\circ$, поэтому доля дуги от окружности равна $n/360^\circ$. Аналогично для сектора.