Метод координат. Уравнение окружности и прямой

Определение. Метод координат

Метод координат — способ решения геометрических задач с помощью алгебры: фигуры задаются уравнениями, а их свойства исследуются через координаты точек.

Формула. Расстояние между точками

Расстояние между точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Координаты середины отрезка

Середина $M$ отрезка $AB$ имеет координаты:

$M\!\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Уравнение окружности

Окружность — множество точек, равноудалённых от центра. Если центр $O(a; b)$, радиус $R$, то уравнение окружности:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Для окружности с центром в начале координат: $x^2 + y^2 = R^2$.

Уравнение прямой

Любая прямая на плоскости задаётся уравнением первой степени:

$Ax + By + C = 0$

где $A$ и $B$ не равны нулю одновременно.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y = kx + b$, где $k = \operatorname{tg}\alpha$ — угловой коэффициент, $\alpha$ — угол наклона прямой к оси $Ox$.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$d$	Расстояние	Длина отрезка между точками
$M$	Середина отрезка	Точка, делящая отрезок пополам
$O(a; b)$	Центр окружности	Точка, равноудалённая от всех точек окружности
$R$	Радиус	Расстояние от центра до окружности
$k$	Угловой коэффициент	Тангенс угла наклона прямой
$A, B, C$	Коэффициенты прямой	Параметры общего уравнения прямой

Пример 1

Найти расстояние между точками $A(-2; 3)$ и $B(4; -1)$.

Дано: $A(-2; 3)$, $B(4; -1)$

Формула: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подстановка: $d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Ответ: $d = 2\sqrt{13}$.

Пример 2

Составить уравнение окружности с центром $O(3; -2)$ и радиусом $R = 5$.

Дано: $O(3; -2)$, $R = 5$

Формула: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Подстановка: $(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$.

Пример 3

Определить, лежит ли точка $C(6; 2)$ на окружности $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 16$.

Дано: $C(6; 2)$, окружность $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 16$

Подстановка: $(6 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17 \neq 16$

Ответ: точка $C$ не лежит на окружности, так как $17 \neq 16$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: в уравнении окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ знак минус перед координатами центра. Если центр $O(-3; 5)$, то уравнение: $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = R^2$.

⚠️ Важно: в общем уравнении прямой $Ax + By + C = 0$ коэффициенты $A$ и $B$ не могут быть равны нулю одновременно. Если $B = 0$, прямая вертикальна ($x = -\frac{C}{A}$); если $A = 0$ — горизонтальна ($y = -\frac{C}{B}$).