Вписанная и описанная окружности

Определение. Вписанная окружность

Вписанная окружность треугольника — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Её центр — точка пересечения биссектрис треугольника. Радиус вписанной окружности обозначается $r$.

Определение. Описанная окружность

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус описанной окружности обозначается $R$.

Формула. Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности треугольника выражается через площадь $S$ и полупериметр $p$:

$r = \frac{S}{p}$

Формула. Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности треугольника можно найти двумя способами:

$R = \frac{abc}{4S}$

$R = \frac{a}{2\sin A}$

Формула. Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$:

$\alpha + \gamma = 180^\circ$

Формула. Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

$a + c = b + d$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$r$	Радиус вписанной окружности	Расстояние от центра до стороны
$R$	Радиус описанной окружности	Расстояние от центра до вершины
$p$	Полупериметр	Половина периметра треугольника
$S$	Площадь	Площадь треугольника
$a, b, c$	Стороны	Длины сторон треугольника

Пример 1

Найти радиус вписанной окружности треугольника со сторонами $a = 7$, $b = 8$, $c = 9$.

Дано: $a = 7$, $b = 8$, $c = 9$

Формула: $p = \frac{a+b+c}{2}$, $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $r = \frac{S}{p}$

Подстановка: $p = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$; $S = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$; $r = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5} \approx 2.236$

Ответ: $r = \sqrt{5} \approx 2.236$.

Пример 2

Найти радиус описанной окружности треугольника со сторонами $a = 6$, $b = 8$, $c = 10$.

Дано: $a = 6$, $b = 8$, $c = 10$

Формула: $p = \frac{a+b+c}{2}$, $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $R = \frac{abc}{4S}$

Подстановка: $p = \frac{6+8+10}{2} = 12$; $S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24$; $R = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 24} = \frac{480}{96} = 5$

Ответ: $R = 5$.

Пример 3

[ОГЭ ФИПИ] В треугольнике $ABC$ сторона $a = 8$, противолежащий угол $A = 30^\circ$. Найти радиус описанной окружности.

Дано: $a = 8$, $A = 30^\circ$

Формула: $R = \frac{a}{2\sin A}$

Подстановка: $R = \frac{8}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{8}{1} = 8$

Ответ: $R = 8$.

Пример 4

[ОГЭ ФИПИ] Прямоугольный треугольник с катетами $a = 5$, $b = 12$ вписан в окружность. Найти радиус описанной окружности.

Дано: $a = 5$, $b = 12$

Формула: гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $R = \frac{c}{2}$

Подстановка: $c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$; $R = \frac{13}{2} = 6.5$

Ответ: $R = 6.5$.

Пример 5

Найти радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами $a = 6$, $b = 8$.

Дано: $a = 6$, $b = 8$

Формула: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $p = \frac{a+b+c}{2}$, $S = \frac{1}{2}ab$, $r = \frac{S}{p}$

Подстановка: $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$; $p = \frac{6+8+10}{2} = 12$; $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$; $r = \frac{24}{12} = 2$

Ответ: $r = 2$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают, какая окружность называется вписанной, а какая — описанной. Вписанная окружность находится внутри треугольника и касается сторон. Описанная окружность проходит снаружи через вершины. Запомни: вписанная — внутри, описанная — снаружи.

⚠️ Важно: для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы. Это свойство часто используется в задачах ОГЭ.