Движения. Симметрия, параллельный перенос, поворот

Определение. Движение (изометрия)

Движением (или изометрией) называется отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в $A'$ и $B'$, то $AB = A'B'$.

Свойства движений:

• Сохраняют расстояния между точками
• Сохраняют углы между прямыми
• Переводят прямые в прямые, отрезки в отрезки, окружности в окружности
• Сохраняют площадь фигур

Определение. Осевая симметрия

Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это отображение плоскости, при котором каждой точке $X$ ставится в соответствие точка $X'$ такая, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром отрезка $XX'$.

В координатах:

• Относительно оси $OX$: $(x, y) \to (x, -y)$
• Относительно оси $OY$: $(x, y) \to (-x, y)$
• Относительно прямой $y = x$: $(x, y) \to (y, x)$

Определение. Центральная симметрия

Центральная симметрия относительно точки $O$ — это отображение плоскости, при котором каждой точке $X$ ставится в соответствие точка $X'$ такая, что точка $O$ является серединой отрезка $XX'$.

В координатах (относительно начала координат): $(x, y) \to (-x, -y)$

Определение. Параллельный перенос

Параллельный перенос на вектор $\vec{v}(a, b)$ — это отображение плоскости, при котором каждой точке $X(x, y)$ ставится в соответствие точка $X'(x + a, y + b)$.

Параллельный перенос является движением: расстояние между любыми двумя точками сохраняется, так как все точки смещаются на один и тот же вектор.

Определение. Поворот

Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это отображение плоскости, при котором:

• Точка $O$ остаётся на месте
• Для любой точки $X \neq O$ точка $X'$ такова, что $OX' = OX$ и $\angle XOX' = \alpha$

Поворот является движением, так как сохраняет расстояния между точками.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$l$	Ось симметрии	Прямая, относительно которой выполняется симметрия
$O$	Центр симметрии / поворота	Точка, относительно которой выполняется преобразование
$\vec{v}(a, b)$	Вектор переноса	Направление и величина смещения
$\alpha$	Угол поворота	Угол, на который поворачивается фигура
$X'$	Образ точки	Результат применения движения к точке $X$

Пример 1

Дана точка $A(3, 5)$. Найти её образ при осевой симметрии относительно оси $OX$.

Дано: $A(3, 5)$, ось симметрии — $OX$

Формула: $(x, y) \to (x, -y)$

Подстановка: $A'(3, -5)$

Ответ: $A'(3, -5)$.

Пример 2

Дана точка $B(-2, 4)$. Найти её образ при центральной симметрии относительно начала координат.

Дано: $B(-2, 4)$, центр симметрии — $O(0, 0)$

Формула: $(x, y) \to (-x, -y)$

Подстановка: $B'(2, -4)$

Ответ: $B'(2, -4)$.

Пример 3

Треугольник $ABC$ с вершинами $A(1, 2)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$ параллельно перенесён на вектор $\vec{v}(-2, 3)$. Найти координаты вершин образа.

Дано: $A(1, 2)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$, $\vec{v}(-2, 3)$

Формула: $(x, y) \to (x + a, y + b)$

Подстановка: $A'(1-2, 2+3) = (-1, 5)$; $B'(4-2, 2+3) = (2, 5)$; $C'(3-2, 5+3) = (1, 8)$

Ответ: $A'(-1, 5)$, $B'(2, 5)$, $C'(1, 8)$.

Пример 4

[ОГЭ ФИПИ] Точка $A(2, -3)$ перешла в точку $A'(-2, 3)$ в результате некоторого движения. Определите, какое движение было применено.

Дано: $A(2, -3)$, $A'(-2, 3)$

Анализ: $(x, y) \to (-x, -y)$ — обе координаты поменяли знак

Ответ: Центральная симметрия относительно начала координат.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают осевую и центральную симметрию. При осевой симметрии одна координата меняет знак (относительно оси), при центральной — обе координаты меняют знак (относительно точки).

⚠️ Важно: все движения сохраняют расстояния, углы и площадь. Если фигуру можно совместить с другой фигурой движением, такие фигуры называются равными (конгруэнтными).