Повторение и подготовка к ОГЭ (геометрия)

Быстрое повторение. Ключевые теоремы и формулы

Треугольники

• Сумма углов треугольника: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
• Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ (для прямоугольного треугольника)
• Теорема синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
• Теорема косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
• Площадь: $S = \frac{1}{2}ab\sin C$, $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Четырёхугольники

• Параллелограмм: $S = bh = ab\sin\alpha$
• Трапеция: $S = \frac{1}{2}(a+b)h$
• Вписанный четырёхугольник: $\alpha + \gamma = 180^\circ$
• Описанный четырёхугольник: $a + c = b + d$

Окружность

• Длина окружности: $C = 2\pi R$
• Площадь круга: $S = \pi R^2$
• Вписанная окружность: $r = \frac{S}{p}$
• Описанная окружность: $R = \frac{abc}{4S}$, $R = \frac{a}{2\sin A}$

Правильные многоугольники

• Центральный угол: $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$
• Внутренний угол: $\beta = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$
• Сторона: $a = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}$

Векторы и координаты

• Длина вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
• Расстояние между точками: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Стереометрия (начальные сведения)

• Объём куба: $V = a^3$
• Объём параллелепипеда: $V = abc$
• Объём пирамиды: $V = \frac{1}{3}Sh$

Типичные ошибки на ОГЭ

1. Путают синус и косинус: $\sin$ — отношение противолежащего катета к гипотенузе, $\cos$ — прилежащего.
2. Забывают $\frac{1}{2}$ в площади треугольника: $S = \frac{1}{2}bh$, а не $S = bh$.
3. Неправильно применяют теорему косинусов: знак минус перед $2bc\cos A$, не плюс.
4. Путают вписанную и описанную окружности: вписанная — внутри (касается сторон), описанная — снаружи (проходит через вершины).
5. Не проверяют, существует ли треугольник: сумма двух сторон должна быть больше третьей.

Пример 1. [ОГЭ ФИПИ, часть 1]

В треугольнике $ABC$ угол $A = 60^\circ$, угол $B = 50^\circ$. Найти угол $C$.

Дано: $A = 60^\circ$, $B = 50^\circ$

Формула: $A + B + C = 180^\circ$

Подстановка: $60^\circ + 50^\circ + C = 180^\circ$, $C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Ответ: $C = 70^\circ$.

Пример 2. [ОГЭ ФИПИ, часть 1]

Найти площадь треугольника со сторонами $a = 7$, $b = 8$ и углом $C = 30^\circ$ между ними.

Дано: $a = 7$, $b = 8$, $C = 30^\circ$

Формула: $S = \frac{1}{2}ab\sin C$

Подстановка: $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot \frac{1}{2} = 14$

Ответ: $S = 14$.

Пример 3. [ОГЭ ФИПИ, часть 1]

Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8$.

Дано: $a = 6$, $b = 8$

Формула: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $p = \frac{a+b+c}{2}$, $S = \frac{1}{2}ab$, $r = \frac{S}{p}$

Подстановка: $c = \sqrt{36 + 64} = 10$; $p = \frac{6+8+10}{2} = 12$; $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$; $r = \frac{24}{12} = 2$

Ответ: $r = 2$.

Пример 4. [ОГЭ ФИПИ, часть 1]

Чему равен центральный угол правильного восьмиугольника?

Дано: $n = 8$

Формула: $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

Подстановка: $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Ответ: $\alpha = 45^\circ$.

Пример 5. [ОГЭ ФИПИ, часть 2]

В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 10$, $BC = 14$, $AC = 16$. Найти угол $B$.

Дано: $AB = c = 10$, $BC = a = 14$, $AC = b = 16$

Формула: теорема косинусов: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

Подстановка: $16^2 = 14^2 + 10^2 - 2 \cdot 14 \cdot 10 \cdot \cos B$; $256 = 196 + 100 - 280\cos B$; $256 = 296 - 280\cos B$; $280\cos B = 296 - 256 = 40$; $\cos B = \frac{40}{280} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\cos B = \frac{1}{7}$, $B = \arccos\frac{1}{7} \approx 81.79^\circ$.

Пример 6. [ОГЭ ФИПИ, часть 2]

Около треугольника $ABC$ описана окружность. Сторона $AB = 8$, угол $C = 30^\circ$. Найти радиус описанной окружности.

Дано: $AB = 8$, $C = 30^\circ$

Формула: $R = \frac{AB}{2\sin C}$

Подстановка: $R = \frac{8}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{8}{1} = 8$

Ответ: $R = 8$.

Важно!

⚠️ Советы для ОГЭ:

1. В части 1 внимательно читай условие — часто ответ уже заложен в рисунке (клетчатая бумага, подписанные углы).
2. Для задач на клетчатой бумаге: площадь одной клетки — 1, считай количество целых клеток и половинок.
3. В части 2 обязательно записывай полное решение с обоснованием каждого шага.
4. Проверяй ответ: подставь его обратно в условие задачи.
5. Если ответ не получается целым числом — не паникуй, на ОГЭ допускаются дробные ответы и ответы с корнем.