Правильные многоугольники

Определение. Правильный многоугольник

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Примеры: равносторонний треугольник ($n = 3$), квадрат ($n = 4$), правильный пятиугольник ($n = 5$), правильный шестиугольник ($n = 6$), правильный восьмиугольник ($n = 8$).

Формула. Центральный угол

Центральный угол правильного $n$-угольника — это угол между двумя радиусами описанной окружности, проведёнными к соседним вершинам:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

Формула. Внутренний угол

Внутренний угол правильного $n$-угольника:

$\beta = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Формула. Сторона через радиус описанной окружности

Сторона правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$:

$a = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}$

Формула. Сторона через радиус вписанной окружности (апофему)

Сторона правильного $n$-угольника через радиус $r$ вписанной окружности (апофему):

$a = 2r\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}$

Формула. Площадь

Площадь правильного $n$-угольника можно вычислить двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot n \cdot r$

$S = \frac{n R^2 \sin(360^\circ/n)}{2}$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$n$	Число сторон	Количество сторон многоугольника
$a$	Сторона	Длина стороны многоугольника
$R$	Радиус описанной окружности	Расстояние от центра до вершины
$r$	Радиус вписанной окружности (апофема)	Расстояние от центра до стороны
$\alpha$	Центральный угол	Угол между радиусами к соседним вершинам
$\beta$	Внутренний угол	Угол при вершине многоугольника
$S$	Площадь	Площадь многоугольника
$P$	Периметр	Сумма длин всех сторон

Пример 1

Найти центральный и внутренний угол правильного шестиугольника ($n = 6$).

Дано: $n = 6$

Формула: $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$, $\beta = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Подстановка: $\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$; $\beta = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$

Ответ: $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 120^\circ$.

Пример 2

Найти сторону правильного треугольника ($n = 3$), вписанного в окружность радиуса $R = 6$.

Дано: $n = 3$, $R = 6$

Формула: $a = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}$

Подстановка: $a = 2 \cdot 6 \cdot \sin\frac{180^\circ}{3} = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

Ответ: $a = 6\sqrt{3}$.

Пример 3

Найти площадь правильного восьмиугольника ($n = 8$), вписанного в окружность радиуса $R = 5$.

Дано: $n = 8$, $R = 5$

Формула: $S = \frac{n R^2 \sin(360^\circ/n)}{2}$

Подстановка: $S = \frac{8 \cdot 5^2 \cdot \sin(360^\circ/8)}{2} = \frac{8 \cdot 25 \cdot \sin 45^\circ}{2} = \frac{200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{100\sqrt{2}}{2} = 50\sqrt{2}$

Ответ: $S = 50\sqrt{2}$.

Пример 4

[ОГЭ ФИПИ] Правильный четырёхугольник (квадрат) вписан в окружность радиуса $R = 4\sqrt{2}$. Найти сторону и площадь.

Дано: $n = 4$, $R = 4\sqrt{2}$

Формула: $a = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}$, $S = \frac{n R^2 \sin(360^\circ/n)}{2}$

Подстановка: $a = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin\frac{180^\circ}{4} = 8\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 8$; $S = \frac{4 \cdot (4\sqrt{2})^2 \cdot \sin(360^\circ/4)}{2} = \frac{4 \cdot 32 \cdot \sin 90^\circ}{2} = \frac{128 \cdot 1}{2} = 64$

Ответ: $a = 8$, $S = 64$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$ (апофему). $R$ — расстояние от центра до вершины, $r$ — расстояние от центра до стороны. Для одного и того же многоугольника $R > r$ (кроме треугольника, где они могут совпадать в частных случаях).

⚠️ Важно: формула $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot n \cdot r$ — это площадь как сумма площадей $n$ равных треугольников с основанием $a$ и высотой $r$. Всегда проверяй, какой радиус дан в задаче: описанный ($R$) или вписанный ($r$).