Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\phi$

где $\phi$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($0^\circ \leq \phi \leq 180^\circ$).

Если хотя бы один из векторов нулевой, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Формула. Скалярное произведение в координатах

Если $\vec{a}(a_x; a_y)$ и $\vec{b}(b_x; b_y)$, то:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Свойства скалярного произведения

1. Коммутативность: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. Дистрибутивность: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
3. Однородность: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
4. Скалярный квадрат: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Угол между векторами

Из определения скалярного произведения:

$\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Условие перпендикулярности

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Проекция вектора на вектор

Проекция вектора $\vec{a}$ на направление вектора $\vec{b}$:

$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$\vec{a} \cdot \vec{b}$	Скалярное произведение	Число, результат умножения векторов
$	\vec{a}	$
$\phi$	Угол между векторами	Угол от $0^\circ$ до $180^\circ$
$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a}$	Проекция a на b	Длина проекции a на направление b

Пример 1

Даны векторы $\vec{a}(1; 2)$ и $\vec{b}(3; -1)$. Найти $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Дано: $\vec{a}(1; 2)$, $\vec{b}(3; -1)$

Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Подстановка: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 3 - 2 = 1$

Ответ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.

Пример 2

Даны векторы $\vec{a}(2; 3)$ и $\vec{b}(-4; 1)$. Найти угол между ними.

Дано: $\vec{a}(2; 3)$, $\vec{b}(-4; 1)$

Формула: $\cos\phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Подстановка: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + 3 \cdot 1 = -8 + 3 = -5$; $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$; $|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$; $\cos\phi = \frac{-5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = -\frac{5}{\sqrt{221}}$

Ответ: $\phi = \arccos\!\left(-\frac{5}{\sqrt{221}}\right)$.

Пример 3

Проверить, перпендикулярны ли векторы $\vec{a}(3; -2)$ и $\vec{b}(4; 6)$.

Дано: $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(4; 6)$

Формула: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Подстановка: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 6 = 12 - 12 = 0$

Ответ: да, векторы перпендикулярны, так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Пример 4

[ОГЭ ФИПИ] Найти проекцию вектора $\vec{a}(5; 0)$ на вектор $\vec{b}(3; 4)$.

Дано: $\vec{a}(5; 0)$, $\vec{b}(3; 4)$

Формула: $\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

Подстановка: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 15$; $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$; $\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{15}{5} = 3$

Ответ: проекция равна $3$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают скалярное произведение с векторным. Скалярное произведение — это число, а не вектор. Результат может быть положительным (острый угол), отрицательным (тупой угол) или нулевым (прямой угол).

⚠️ Важно: если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол между векторами острый ($\phi < 90^\circ$). Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, угол тупой ($\phi > 90^\circ$). Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, векторы перпендикулярны.