Преобразование подобия

Определение

Преобразование подобия с коэффициентом $k$ — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в $k$ раз: если точки $A$ и $B$ переходят в $A_1$ и $B_1$, то $A_1B_1 = k \cdot AB$.

• при $k > 1$ фигура увеличивается;
• при $0 < k < 1$ фигура уменьшается;
• при $k = 1$ преобразование подобия является движением.

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — преобразование, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A_1$ на луче $OA$ так, что $OA_1 = k \cdot OA$. Любое преобразование подобия можно представить как композицию гомотетии и движения.

Формула/Теорема

Подобие соответственных элементов

У подобных фигур соответственные линейные элементы (стороны, высоты, медианы, периметры) относятся как коэффициент подобия $k$:

$\frac{P_1}{P_2} = k$

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$\frac{V_1}{V_2} = k^3$

Свойства преобразования подобия

• сохраняет углы (переводит фигуру в подобную);
• переводит прямую в прямую, окружность — в окружность;
• сохраняет отношение отрезков;
• композиция двух преобразований подобия — снова преобразование подобия.

Пример

Пример 1. Отрезок $AB$ длиной 5 см подвергнут преобразованию подобия с коэффициентом $k = 3$. Найдите длину образа $A_1B_1$.

Дано: $AB = 5$ см, $k = 3$.

Формула: $A_1B_1 = k \cdot AB$.

Подстановка: $A_1B_1 = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ: $A_1B_1 = 15$ см.

Пример 2. Периметр одного подобного треугольника равен 20 см, а периметр другого — 60 см. Найдите коэффициент подобия.

Дано: $P_1 = 20$ см, $P_2 = 60$ см.

Формула: $\dfrac{P_1}{P_2} = k$.

Подстановка: $k = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$.

Ответ: $k = \dfrac{1}{3}$ (второй треугольник в 3 раза больше первого).

Пример 3. Площадь маленького квадрата равна 4 см². Квадрат увеличен преобразованием подобия с коэффициентом $k = 3$. Найдите площадь большого квадрата.

Дано: $S_1 = 4$ см², $k = 3$.

Формула: $\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$.

Подстановка: $S_2 = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ см².

Ответ: $S_2 = 36$ см².

Пример 4. Объём маленького куба равен 8 см³. Куб увеличен с коэффициентом подобия $k = 2$. Найдите объём большого куба.

Дано: $V_1 = 8$ см³, $k = 2$.

Формула: $\dfrac{V_2}{V_1} = k^3$.

Подстановка: $V_2 = 8 \cdot 2^3 = 8 \cdot 8 = 64$ см³.

Ответ: $V_2 = 64$ см³.

Важно

⚠️ Типичная ошибка: путать, во сколько раз меняются линейные размеры, площади и объёмы. При увеличении в $k$ раз: длины — в $k$ раз, площади — в $k^2$ раз, объёмы — в $k^3$ раз. Нельзя умножать площадь на $k$ — нужно на $k^2$.

⚠️ Важно: преобразование подобия сохраняет углы, но не сохраняет расстояния (кроме случая $k = 1$). Поэтому оно не является движением, если $k \neq 1$.

⚠️ Важно: гомотетия — частный случай подобия, но не всякое подобие — гомотетия. Гомотетия «растягивает» фигуру от одной точки-центра, а общее подобие может ещё и поворачивать или отражать.