Синус, косинус, тангенс углов от 0° до 180°

Определение. Тригонометрические функции угла

Рассмотрим единичную полуокружность (радиус $R = 1$) с центром в начале координат, расположенную в верхней полуплоскости ($y \geq 0$). Для угла $\alpha$ ($0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$) точка $M(x; y)$ на полуокружности такова, что угол между положительным направлением оси $Ox$ и радиусом $OM$ равен $\alpha$.

Синусом угла $\alpha$ называется ордината точки $M$: $\sin\alpha = y$.

Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса точки $M$: $\cos\alpha = x$.

Тангенсом угла $\alpha$ называется отношение $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ($\cos\alpha \neq 0$).

Таблица значений

Угол $\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$\sin\alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$\cos\alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\operatorname{tg}\alpha$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	—	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	0

Формулы приведения

Для углов от $90^\circ$ до $180^\circ$:

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$

$\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$

Основное тригонометрическое тождество

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$\sin\alpha$	Синус угла	Ордината точки на единичной полуокружности
$\cos\alpha$	Косинус угла	Абсцисса точки на единичной полуокружности
$\operatorname{tg}\alpha$	Тангенс угла	Отношение синуса к косинусу
$\alpha$	Угол	Величина угла в градусах

Пример 1

Найти $\sin 120^\circ$, $\cos 120^\circ$, $\operatorname{tg} 120^\circ$.

Дано: $\alpha = 120^\circ$

Формула: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$

Подстановка: $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$. $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$; $\operatorname{tg} 120^\circ = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$

Ответ: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, $\operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}$.

Пример 2

[ОГЭ ФИПИ] В треугольнике $ABC$ угол $C = 90^\circ$, $AB = 10$, $\sin A = 0.6$. Найти $BC$.

Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $AB = 10$, $\sin A = 0.6$

Формула: $\sin A = \frac{BC}{AB}$

Подстановка: $0.6 = \frac{BC}{10}$, $BC = 0.6 \cdot 10 = 6$

Ответ: $BC = 6$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: думать, что синус и косинус бывают только у острых углов. Для тупых углов ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) синус положителен, а косинус отрицателен.

⚠️ Важно: тангенс не определён для $\alpha = 90^\circ$, так как $\cos 90^\circ = 0$, а делить на ноль нельзя.