Теоремы синусов и косинусов

Определение. Решение треугольника

Решением треугольника называется нахождение всех его сторон и углов по известным элементам (сторонам, углам). Для этого используются теорема синусов и теорема косинусов.

Теорема синусов

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство. Опишем около треугольника $ABC$ окружность радиуса $R$ с центром $O$. Проведём диаметр $BD$ через вершину $B$ и центр $O$. Вписанный угол $BCD$ опирается на диаметр $BD$, поэтому $\angle BCD = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ гипотенуза $BD = 2R$, катет $BC = a$, а угол $\angle BDC$ равен вписанному углу $\angle BAC = A$, так как оба опираются на дугу $BC$. Следовательно, $a = BC = BD \cdot \sin\angle BDC = 2R \cdot \sin A$. Отсюда $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Аналогично, проводя диаметры через вершины $A$ и $C$, получаем $\frac{b}{\sin B} = 2R$ и $\frac{c}{\sin C} = 2R$.

Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Доказательство. Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$, $\angle C = \gamma$. Поместим треугольник в координатную плоскость: $C(0; 0)$, $A(b; 0)$, $B(a\cos\gamma;\; a\sin\gamma)$. Тогда:

$c^2 = AB^2 = (b - a\cos\gamma)^2 + (0 - a\sin\gamma)^2 = b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma + a^2\sin^2\gamma = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Площадь треугольника через две стороны и угол

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$a, b, c$	Стороны треугольника	Противолежат углам $A, B, C$
$A, B, C$	Углы треугольника	Углы при соответствующих вершинах
$R$	Радиус описанной окружности	Радиус окружности, проходящей через все вершины
$S$	Площадь треугольника	Площадь фигуры

Пример 1

В треугольнике $ABC$: $a = 7$, $b = 8$, $\angle C = 60^\circ$. Найти $c$.

Дано: $a = 7$, $b = 8$, $\angle C = 60^\circ$

Формула: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Подстановка: $c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57$

Ответ: $c = \sqrt{57}$.

Пример 2

[ОГЭ ФИПИ] В треугольнике $ABC$: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, сторона $a = 10$. Найти сторону $b$.

Дано: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $a = 10$

Формула: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Подстановка: $\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$, $\frac{10}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{2}/2}$, $20 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$, $b = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$

Ответ: $b = 10\sqrt{2}$.

Пример 3

Найти площадь треугольника со сторонами $a = 6$, $b = 10$ и углом $C = 30^\circ$ между ними.

Дано: $a = 6$, $b = 10$, $\angle C = 30^\circ$

Формула: $S = \frac{1}{2}ab\sin C$

Подстановка: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{1}{2} = 15$

Ответ: $S = 15$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: в теореме косинусов путают, какой угол брать. Угол $C$ — это угол между сторонами $a$ и $b$, а сторона $c$ лежит напротив этого угла. Формула $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ — для стороны $c$.

⚠️ Важно: теорема синусов работает для любого треугольника, не только прямоугольного. Если известны два угла и одна сторона, можно найти все остальные элементы.