Начальные сведения из стереометрии

Определение. Пространственные фигуры

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В отличие от планиметрии, где фигуры лежат в одной плоскости, стереометрия рассматривает трёхмерные объекты.

Основные пространственные фигуры, изучаемые в 9 классе:

• Куб — прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны. Имеет 6 граней (квадраты), 8 вершин, 12 рёбер.
• Прямоугольный параллелепипед — многогранник с 6 гранями (прямоугольники), 8 вершинами, 12 рёбрами. Противоположные грани равны и параллельны.
• Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а боковые грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине.

Аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Формула. Объём куба

Объём куба с ребром $a$:

$V = a^3$

Формула. Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a$, $b$, $c$:

$V = abc$

Формула. Объём пирамиды

Объём пирамиды с площадью основания $S$ и высотой $h$:

$V = \frac{1}{3} S h$

Формула. Площадь поверхности куба

Площадь полной поверхности куба с ребром $a$:

$S = 6a^2$

Формула. Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$a, b, c$	Измерения	Длина, ширина, высота параллелепипеда
$V$	Объём	Вместимость фигуры в кубических единицах
$S$	Площадь поверхности	Сумма площадей всех граней
$h$	Высота	Расстояние от вершины до плоскости основания
$d$	Диагональ	Отрезок, соединяющий противоположные вершины

Пример 1

Найти объём куба с ребром $a = 5$.

Дано: $a = 5$

Формула: $V = a^3$

Подстановка: $V = 5^3 = 125$

Ответ: $V = 125$ кубических единиц.

Пример 2

Найти объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a = 4$, $b = 3$, $c = 6$.

Дано: $a = 4$, $b = 3$, $c = 6$

Формула: $V = abc$

Подстановка: $V = 4 \cdot 3 \cdot 6 = 72$

Ответ: $V = 72$.

Пример 3

Найти объём пирамиды с площадью основания $S = 24$ и высотой $h = 9$.

Дано: $S = 24$, $h = 9$

Формула: $V = \frac{1}{3} S h$

Подстановка: $V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = 8 \cdot 9 = 72$

Ответ: $V = 72$.

Пример 4

Найти площадь полной поверхности куба с ребром $a = 4$.

Дано: $a = 4$

Формула: $S = 6a^2$

Подстановка: $S = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$

Ответ: $S = 96$.

Пример 5

[ОГЭ ФИПИ] Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями $a = 3$, $b = 4$, $c = 12$.

Дано: $a = 3$, $b = 4$, $c = 12$

Формула: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Подстановка: $d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Ответ: $d = 13$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают объём и площадь поверхности. Объём измеряется в кубических единицах ($a^3$), площадь — в квадратных ($a^2$). Для куба с ребром 2: $V = 8$, $S = 24$ — это разные числа!

⚠️ Важно: в формуле объёма пирамиды стоит множитель $\frac{1}{3}$. Не забывай его! Объём пирамиды ровно в три раза меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой.