Векторы: сложение, вычитание, умножение на число

Определение. Вектор

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается $\vec{AB}$ (начало A, конец B) или $\vec{a}$.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) или противоположно направленными ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

Модулем (длиной) вектора $\vec{a}$ называется длина отрезка, его изображающего: $|\vec{a}|$.

Нулевой вектор $\vec{0}$ — вектор, начало и конец которого совпадают; его длина равна нулю, направление не определено.

Формула. Координаты вектора

Если точка $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, то:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1)$

Длина вектора через координаты:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Сложение векторов

Правило треугольника: чтобы сложить $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца $\vec{a}$ отложить $\vec{b}$. Сумма — вектор от начала $\vec{a}$ к концу $\vec{b}$.

Правило параллелограмма: отложить оба вектора от одной точки, достроить до параллелограмма. Диагональ из общей точки — сумма.

В координатах: $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x;\; a_y + b_y)$.

Свойства сложения

• $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (коммутативность)
• $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (ассоциативность)
• $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Вычитание векторов

Разность $\vec{a} - \vec{b}$ — вектор, который в сумме с $\vec{b}$ даёт $\vec{a}$.

В координатах: $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x;\; a_y - b_y)$.

Умножение вектора на число

Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется вектор $k\vec{a}$, коллинеарный $\vec{a}$, длина которого $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Направление совпадает с $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно при $k < 0$.

В координатах: $k\vec{a} = (k a_x;\; k a_y)$.

Таблица формул

Действие	Формула
Координаты вектора	$\vec{AB} = (x_B - x_A;\; y_B - y_A)$
Длина вектора	$
Сложение	$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x;\; a_y + b_y)$
Вычитание	$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x;\; a_y - b_y)$
Умножение на число	$k\vec{a} = (k a_x;\; k a_y)$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$\vec{AB}$	Вектор AB	Направленный отрезок от A к B
$\vec{a}$	Вектор	Обозначение вектора латинской буквой
$\vec{0}$	Нулевой вектор	Вектор нулевой длины
$	\vec{a}	$
$\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$	Сонаправленные	Векторы направлены одинаково
$\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$	Противоположно направленные	Векторы направлены в разные стороны
$a_x, a_y$	Координаты вектора	Проекции на оси Ox и Oy

Пример 1

Найти координаты и длину вектора $\vec{AB}$, если $A(1; 3)$, $B(5; 6)$.

Дано: $A(1; 3)$, $B(5; 6)$

Формула: $\vec{AB} = (x_B - x_A;\; y_B - y_A)$, $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Подстановка: $\vec{AB} = (5 - 1;\; 6 - 3) = (4; 3)$, $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: $\vec{AB} = (4; 3)$, $|\vec{AB}| = 5$.

Пример 2

Даны векторы $\vec{a}(2; -1)$ и $\vec{b}(-3; 4)$. Найти $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$ и $3\vec{a}$.

Дано: $\vec{a}(2; -1)$, $\vec{b}(-3; 4)$

Формула: $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x;\; a_y + b_y)$, $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x;\; a_y - b_y)$, $k\vec{a} = (k a_x;\; k a_y)$

Подстановка: $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-3);\; -1 + 4) = (-1; 3)$; $\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-3);\; -1 - 4) = (5; -5)$; $3\vec{a} = (3 \cdot 2;\; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = (-1; 3)$, $\vec{a} - \vec{b} = (5; -5)$, $3\vec{a} = (6; -3)$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают координаты вектора и координаты точки. Координаты вектора — это разность координат конца и начала, а не сами координаты точки.

⚠️ Важно: при умножении вектора на отрицательное число направление меняется на противоположное. Например, $-2\vec{a}$ в два раза длиннее $\vec{a}$ и направлен в противоположную сторону.