Арифметика в двоичной системе счисления

1. Двоичное сложение

Арифметические операции в двоичной системе выполняются по тем же правилам, что и в десятичной, но с учётом того, что основание равно 2.

Таблица двоичного сложения

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10  (0 пишем, 1 переносим в старший разряд)

Пример сложения:

  1101  (13₁₀)
+ 1011  (11₁₀)
------
 11000  (24₁₀)

Поразрядное выполнение:

• Младший разряд: 1 + 1 = 10 → пишем 0, перенос 1
• Второй разряд: 0 + 1 + перенос 1 = 10 → пишем 0, перенос 1
• Третий разряд: 1 + 0 + перенос 1 = 10 → пишем 0, перенос 1
• Четвёртый разряд: 1 + 1 + перенос 1 = 11 → пишем 1, перенос 1
• Пятый разряд: перенос 1 → пишем 1

2. Двоичное вычитание

Таблица двоичного вычитания

0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1  (с заёмом единицы из старшего разряда)

При вычитании 0 − 1 необходимо занять единицу из ближайшего старшего ненулевого разряда.

Пример вычитания:

  1100  (12₁₀)
- 0111  (7₁₀)
------
  0101  (5₁₀)

3. Переполнение разряда

При сложении двоичных чисел фиксированной разрядности может возникнуть переполнение — ситуация, когда результат не помещается в отведённое количество битов.

Пример переполнения в 8-битном представлении:

  11111111  (255₁₀, максимальное 8-битное)
+ 00000001  (1₁₀)
----------
 100000000  (256₁₀ — требуется 9 бит)

Старший бит (девятый) теряется, и в 8-битном регистре остаётся 00000000.

Переполнение обрабатывается флагом CF (Carry Flag) в регистре флагов процессора.

4. Двоичное умножение

Двоичное умножение проще десятичного, так как таблица умножения содержит всего 4 правила:

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Умножение сводится к сдвигу множимого влево и сложению. Умножение на 2ⁿ выполняется сдвигом на n разрядов влево.

Пример: 1011₂ × 101₂

       1011
     ×  101
     ------
       1011  (умножение на 1)
      0000   (сдвиг на 1, умножение на 0)
   + 1011    (сдвиг на 2, умножение на 1)
   ---------
     110111

Результат: 1011₂ × 101₂ = 110111₂ (11₁₀ × 5₁₀ = 55₁₀).

5. Связь с процессором

Арифметико-логическое устройство (АЛУ) процессора выполняет все двоичные арифметические операции. Сложение — основная операция; вычитание реализуется через сложение с дополнительным кодом, умножение — через многократное сложение со сдвигом.