Системы счисления

1. Понятие системы счисления

Система счисления — это совокупность приёмов и правил для записи чисел с помощью цифровых знаков. Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах значение цифры не зависит от её места в записи числа. Пример — римская система: в числах IX и XI цифра X означает 10 независимо от позиции.

В позиционных системах значение цифры определяется её позицией (разрядом). Количество различных цифр, используемых в системе, называется основанием системы счисления.

2. Двоичная система счисления (основание 2)

Двоичная система — основная система представления информации в компьютере. Использует две цифры: 0 и 1.

Развёрнутая форма записи двоичного числа:

10110₂ = 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22₁₀

Каждый разряд двоичного числа называется битом (binary digit).

3. Восьмеричная система счисления (основание 8)

Использует 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Применяется для более компактной записи двоичных чисел. Каждые три двоичных разряда (триада) соответствуют одной восьмеричной цифре.

Перевод из двоичной в восьмеричную: разбить двоичное число на группы по 3 цифры справа налево и заменить каждую группу восьмеричной цифрой:

101110₂ = 101 110 = 5 6 = 56₈

Таблица триад:

Двоичная	Восьмеричная
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

4. Шестнадцатеричная система счисления (основание 16)

Использует 16 цифр: 0–9 и A, B, C, D, E, F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Каждые четыре двоичных разряда (тетрада) соответствуют одной шестнадцатеричной цифре.

Таблица тетрад:

Двоичная	Hex	Двоичная	Hex
0000	0	1000	8
0001	1	1001	9
0010	2	1010	A
0011	3	1011	B
0100	4	1100	C
0101	5	1101	D
0110	6	1110	E
0111	7	1111	F

5. Формулы перевода

Из N-ричной системы в десятичную

A = aₙ·Nⁿ + aₙ₋₁·Nⁿ⁻¹ + ... + a₁·N¹ + a₀·N⁰

Где aᵢ — цифры числа, N — основание системы.

Пример: 2A₁₆ = 2·16¹ + 10·16⁰ = 32 + 10 = 42₁₀

Из десятичной в N-ричную

Выполняется последовательным делением на основание N с записью остатков в обратном порядке.

Алгоритм перевода 42₁₀ → 2:

• 42 / 2 = 21, остаток 0
• 21 / 2 = 10, остаток 1
• 10 / 2 = 5, остаток 0
• 5 / 2 = 2, остаток 1
• 2 / 2 = 1, остаток 0
• 1 / 2 = 0, остаток 1

Результат (остатки снизу вверх): 101010₂

6. Почему именно двоичная?

Компьютеры используют двоичную систему по техническим причинам:

• Для хранения и передачи бита достаточно двух различных состояний физического элемента (есть напряжение / нет напряжения, намагничен / не намагничен).
• Двоичная арифметика наиболее проста и надёжна.
• Двоичное представление позволяет применять аппарат алгебры логики для анализа и синтеза компьютерных схем.