Сложение и вычитание натуральных чисел

Определение

Сложение — арифметическое действие, которое по двум числам (слагаемым) находит их сумму.

$a + b = c$

где $a$ и $b$ — слагаемые, $c$ — сумма.

Сложение показывает объединение двух групп предметов в одну: в одной коробке $12$ карандашей, в другой $8$ — сложением находим, что всего $12 + 8 = 20$ карандашей.

Вычитание — арифметическое действие, обратное сложению: по сумме и одному слагаемому находит другое слагаемое.

$a - b = c$

где $a$ — уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, $c$ — разность. Для натуральных чисел обязательно $a \ge b$.

Формула

$a + b = c \quad \text{(сложение)}$ $a - b = c \quad \text{(вычитание, } a \ge b \text{)}$

Свойства сложения:

• Переместительное: $a + b = b + a$
• Сочетательное: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Сложение и вычитание связаны: если $a + b = c$, то $a = c - b$ и $b = c - a$.

Обозначения

Знак	Название	Значение
$+$	Плюс	Знак сложения
$-$	Минус	Знак вычитания
$=$	Равно	Знак равенства

Пример 1

Сложение трёхзначных чисел столбиком.

Дано: $247 + 358$.

Формула: Складываем поразрядно, начиная с единиц. При переходе через десяток $+1$ в следующий разряд.

Подстановка: Единицы: $7 + 8 = 15$ → пишем $5$, $1$ в уме (переход в десятки). Десятки: $4 + 5 + 1 = 10$ → пишем $0$, $1$ в уме. Сотни: $2 + 3 + 1 = 6$. Итого $605$.

Ответ: $247 + 358 = 605$.

Пример 2

Вычитание с переходом через разряд.

Дано: $523 - 186$.

Формула: Вычитаем поразрядно, начиная с единиц. Если цифра уменьшаемого меньше, «занимаем» $1$ из старшего разряда ($+10$).

Подстановка: Единицы: $3 - 6$ невозможно → занимаем $1$ из десятков: $13 - 6 = 7$. Десятки: остался $1$ (было $2$, заняли $1$) → $1 - 8$ невозможно → занимаем $1$ из сотен: $11 - 8 = 3$. Сотни: осталось $4$ (было $5$, заняли $1$) → $4 - 1 = 3$. Итого $337$.

Ответ: $523 - 186 = 337$.

Пример 3

Проверка вычитания сложением.

Дано: Вычислили $1000 - 348 = 652$. Проверить.

Формула: Если $a - b = c$, то $c + b = a$.

Подстановка: $652 + 348 = 652 + 300 + 40 + 8 = 952 + 40 + 8 = 992 + 8 = 1000$. Сумма совпала с уменьшаемым — верно.

Ответ: Вычисление верно.

Пример 4

Уравнение на нахождение неизвестного слагаемого.

Дано: $x + 135 = 400$. Найти $x$.

Формула: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: $x = c - b$.

Подстановка: $x = 400 - 135 = 265$.

Ответ: $x = 265$. Проверка: $265 + 135 = 400$ ✓.

Важно!

1. Складывать можно любые натуральные числа — сумма всегда будет натуральным числом.
2. Вычитать можно только меньшее из большего (или равные): $a \ge b$, иначе разность не будет натуральным числом.
3. Сложение столбиком: единицы под единицами, десятки под десятками. Складываем справа налево.
4. При «занятии» единицы из старшего разряда к текущей цифре прибавляем $10$, а в старшем разряде уменьшаем цифру на $1$.