Десятичные дроби: запись, сравнение, сложение и вычитание

Определение

Десятичная дробь — особый вид записи дроби, у которой знаменатель — $10$, $100$, $1000$ и так далее. Вместо черты дроби ставят запятую: целая часть записывается слева от запятой, дробная — справа.

Например, $\frac{3}{10}$ в десятичной записи — это $0,3$, $\frac{45}{100}$ — это $0,45$. Смешанное число $2\frac{7}{10}$ записывается как $2,7$.

Число знаков после запятой показывает знаменатель: один знак — десятые, два знака — сотые, три — тысячные.

$3,45 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{5}{100}$

Формула

Правило сравнения десятичных дробей:

Уравниваем число знаков после запятой (дописываем нули справа). Сравниваем целые части: у какого числа целая часть больше, то число и больше. Если целые части равны — сравниваем поразрядно после запятой слева направо.

Правило сложения и вычитания:

Записываем числа столбиком так, чтобы запятая была под запятой. Уравниваем число знаков после запятой (дописываем нули). Складываем или вычитаем как натуральные числа. В ответе запятую ставим под запятыми.

Если при вычитании в уменьшаемом меньше знаков, чем в вычитаемом, дописываем нули.

Обозначения

Компонент	Название	Пояснение
$3,45$	Десятичная дробь	Читается: «три целых сорок пять сотых»
$3$	Целая часть	Целое число слева от запятой
$0,45$	Дробная часть	Десятые и сотые доли справа от запятой
$0,3$	Одна десятая	$\frac{3}{10}$, первый разряд после запятой
$0,05$	Пять сотых	$\frac{5}{100}$, второй разряд после запятой
$0,007$	Семь тысячных	$\frac{7}{1000}$, третий разряд после запятой

Пример 1

Запись десятичной дроби.

Дано: обыкновенная дробь $\frac{7}{10}$.

Формула: $\frac{7}{10} = 0,7$ (одна цифра после запятой, потому что знаменатель $10$).

Подстановка: Числитель $7$ — это количество десятых долей. Десятые — первый разряд после запятой: $0,7$.

Ответ: $\frac{7}{10} = 0,7$.

Пример 2

Сравнение десятичных дробей.

Дано: числа $2,5$ и $2,47$. Какое больше?

Формула: Уравняем число знаков: $2,50$ и $2,47$. Целые части равны $(2 = 2)$. Сравниваем десятые: $5 > 4$.

Подстановка: $5$ десятых $> 4$ десятых, значит $2,5 > 2,47$.

Ответ: $2,5 > 2,47$.

Пример 3

Сложение десятичных дробей.

Дано: $1,5 + 2,3$.

Формула: Запятая под запятой: складываем целые и дробные части отдельно. $1 + 2 = 3$ (целые), $5 + 3 = 8$ (десятые).

Подстановка: $1,5 + 2,3 = 3,8$.

Ответ: $1,5 + 2,3 = 3,8$.

Пример 4

Вычитание десятичных дробей.

Дано: $5,2 - 1,35$.

Формула: Уравняем число знаков: $5,20 - 1,35$. Вычитаем поразрядно: $20 - 35$ сотых — не хватает. Занимаем $1$ у целых: $5,20 = 4 + 1,20 = 4 + \frac{120}{100}$. $4,120 - 1,35 = (4-1) + (1,20 - 0,35) = 3 + 0,85$.

Подстановка: $5,20 - 1,35 = 3,85$.

Ответ: $5,2 - 1,35 = 3,85$.

Важно!

1. Запятая под запятой — главное правило при сложении и вычитании. Нельзя складывать числа «как попало»: запятая сдвинется — ответ будет неверным.
2. Нули не меняют значение. $0,5 = 0,50 = 0,500$ — это одно и то же число. Дописывание нулей помогает сравнивать и вычитать.
3. При сравнении сначала целые, потом дробные. Нельзя сказать, что $0,9 < 0,11$, потому что $9$ меньше $11$? Нет: $0,90 > 0,11$, так как $9$ десятых $> 1$ десятой с одной сотой.
4. Перенос запятой влево — число уменьшается в $10$ раз. $5,0 \to 0,5$ — разделили на $10$.
5. Деньги — лучшая модель: $3,45$ рубля = $3$ рубля $45$ копеек. Сложение денег = сложение десятичных дробей. Сумма $3,45 + 1,70 = 5,15$ — это $5$ рублей $15$ копеек.