Умножение и деление десятичных дробей

Определение

Умножение десятичных дробей — арифметическое действие, при котором десятичные дроби умножаются по тем же правилам, что и натуральные числа, а затем в результате отделяется запятой нужное количество знаков.

Деление десятичных дробей — действие, обратное умножению: переносом запятой делитель превращают в натуральное число, а затем делят как обычные числа.

В отличие от сложения и вычитания, где главное правило — «запятая под запятой», при умножении и делении запятые двигаются по особым правилам.

Формула

Умножение десятичной дроби на целое число:

Умножаем числа, не обращая внимания на запятую. В ответе отделяем запятой справа столько цифр, сколько их было в десятичной дроби.

$2,5 \times 3 = 25 \times 3 = 75 \to 7,5 \text{ (одна цифра после запятой)}$

Умножение десятичной дроби на десятичную:

$0,3 \times 0,5 = 3 \times 5 = 15$

Считаем общее число цифр после запятой в обоих множителях. В $0,3$ — одна цифра, в $0,5$ — одна цифра, всего $1 + 1 = 2$. Значит, в ответе отделяем две цифры: $15 \to 0,15$.

Общее правило: $a \times b = (a \cdot 10^n) \times (b \cdot 10^m) \div 10^{n+m}$

Деление на целое число:

Делим, не обращая внимания на запятую. Когда заканчивается деление целой части — ставим запятую в частном.

$7,5 \div 3 = 75 \div 3 = 25 \to 2,5$

Деление на десятичную дробь:

Переносим запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, чтобы делитель стал целым числом:

$0,75 \div 0,5 \to 7,5 \div 5 = 1,5$

Обозначения

Компонент	Название	Роль при вычислении
$2,5 \times 3 = 7,5$	Умножение на целое	Отделяем столько же знаков, сколько в дроби
$0,3 \times 0,5 = 0,15$	Умножение двух дробей	Складываем число знаков после запятых
$7,5 \div 3 = 2,5$	Деление на целое	Запятая в частном — когда кончилась целая часть
$0,75 \div 0,5 \to 7,5 \div 5$	Деление на дробь	Сдвигаем запятую вправо в обоих числах
$10^n$	Степень десятки	На сколько разрядов двигаем запятую

Пример 1

Умножение на целое число.

Дано: $2,5 \times 4$.

Формула: $25 \times 4 = 100$, после запятой в $2,5$ одна цифра → отделяем одну цифру.

Подстановка: $100$ с одной цифрой после запятой → $10,0 = 10$.

Ответ: $2,5 \times 4 = 10$.

Пример 2

Умножение двух десятичных дробей.

Дано: $0,3 \times 0,5$.

Формула: $3 \times 5 = 15$. Цифр после запятой: в $0,3$ — одна, в $0,5$ — одна. Всего $2$. Отделяем $2$ цифры в ответе.

Подстановка: $15$ с двумя знаками → $0,15$.

Ответ: $0,3 \times 0,5 = 0,15$.

Пример 3

Деление на целое число.

Дано: $7,5 \div 3$.

Формула: Делим $7,5$ на $3$. $7 \div 3 = 2$ (ост. $1$). Сносим $5$ — получаем $15$. $15 \div 3 = 5$. Запятую ставим после целой части ($2$).

Подстановка: $7,5 \div 3 = 2,5$.

Ответ: $7,5 \div 3 = 2,5$.

Пример 4

Деление на десятичную дробь.

Дано: $0,75 \div 0,5$.

Формула: Переносим запятую вправо на $1$ знак в обоих числах: $7,5 \div 5$. Делим: $7 \div 5 = 1$ (ост. $2$). Сносим $5$ — $25 \div 5 = 5$. Запятая после $1$ (целая часть кончилась).

Подстановка: $7,5 \div 5 = 1,5$.

Ответ: $0,75 \div 0,5 = 1,5$.

Важно!

1. При умножении запятую НЕ выравнивают — это самая частая ошибка. В отличие от сложения, где запятая под запятой, при умножении мы умножаем числа без запятой и только потом её возвращаем.
2. Количество знаков после запятой в произведении = сумма знаков в множителях. $0,15 \times 0,3$: в $0,15$ два знака, в $0,3$ один — итого $3$ знака в ответе. $15 \times 3 = 45$, ответ: $0,045$.
3. При делении на десятичную дробь — сдвигаем запятую ОДИНАКОВО в обоих числах. $0,75 \div 0,5$: сдвигаем на один знак → $7,5 \div 5$, а не просто $75 \div 5$. Результат от этого не меняется!
4. Деньги: $2,5$ рубля × $3$ штуки = $7,5$ рубля. $7,5$ рубля ÷ $3$ человека = $2,5$ рубля каждому. Умножение и деление десятичных дробей — это буквально покупки и делёж.
5. Ноль после запятой в конце можно отбросить: $10,0 = 10$. Но в середине — нельзя: $0,15 \neq 0,015$.