Делимость: делители, кратные, признаки делимости

Определение. Делитель и кратное

Делитель — число, на которое другое число делится нацело.

Например, делители числа $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Кратное — число, которое делится на данное число нацело.

Например, кратные числу $3$: $3, 6, 9, 12, 15, 18, \ldots$

Определение. Простые и составные числа

Простое число — натуральное число, которое делится только на $1$ и на себя.

Примеры: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$.

Составное число — натуральное число, которое делится не только на $1$ и на себя.

Примеры: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20$.

⚠️ Число $1$ — ни простое, ни составное.

Признаки делимости

На 2: число четное (оканчивается на $0, 2, 4, 6, 8$).

Примеры: $24, 38, 50$ делятся на $2$.

На 5: число оканчивается на $0$ или $5$.

Примеры: $25, 30, 45$ делятся на $5$.

На 10: число оканчивается на $0$.

Примеры: $30, 100, 560$ делятся на $10$.

На 3: сумма цифр делится на $3$.

Примеры: $15$ ($1 + 5 = 6$, $6$ делится на $3$), $24$ ($2 + 4 = 6$).

На 9: сумма цифр делится на $9$.

Примеры: $18$ ($1 + 8 = 9$), $27$ ($2 + 7 = 9$).

Разложение на множители

Представить число как произведение его делителей.

Пример: $12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3$

Пример: $20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5$

Деление с остатком

Если одно число не делится нацело на другое, то получается остаток.

$a = b \times q + r$, где $r < b$ (остаток меньше делителя).

Пример: $17 \div 5 = 3$ (остаток $2$), т.к. $17 = 5 \times 3 + 2$.

Пример 1

Найти все делители числа $18$.

Выпишем числа, на которые $18$ делится нацело: $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

Ответ: делители $18$ — это $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

Пример 2

Определить, делится ли $342$ на $3$.

Сумма цифр: $3 + 4 + 2 = 9$. Число $9$ делится на $3$. Значит, $342$ делится на $3$.

Проверка: $342 \div 3 = 114$ ✓

Пример 3

Разложить $30$ на множители.

$30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5$

Ответ: $30 = 2 \times 3 \times 5$

Важно!

⚠️ НОД и НОК — это тема 6 класса, здесь мы только учимся распознавать делители и применять признаки.

⚠️ Деление с остатком: остаток всегда меньше делителя. Если остаток больше или равен делителю — ошибка в вычислении.

⚠️ Простые числа: число $1$ не считается простым и не считается составным.