Обыкновенные дроби: доли, сравнение

Определение

Обыкновенная дробь — запись вида $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Число $a$ над чертой называют числителем, число $b$ под чертой — знаменателем.

$\frac{a}{b}\quad \text{— целое разделили на } b \text{ равных частей, взяли } a \text{ таких частей}$

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Числитель — сколько таких частей взяли. Например, $\frac{3}{4}$ пиццы: пиццу разрезали на $4$ равных куска и взяли $3$.

Доля — это дробь с числителем $1$ (единичная дробь): $\frac{1}{2}$ (половина), $\frac{1}{4}$ (четверть), $\frac{1}{8}$ (восьмушка). Каждая доля — одна из равных частей целого.

Формула

$\frac{a}{b},\quad b \ne 0,\quad a \text{ — числитель},\; b \text{ — знаменатель}$

Доля: $\frac{1}{n}$ — одна из $n$ равных частей.

Сравнение дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a}{n} < \frac{b}{n} \iff a < b$

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше. $\frac{2}{5} < \frac{4}{5}$, потому что $2 < 4$.

Сравнение дробей с одинаковым числителем:

$\frac{a}{n} > \frac{a}{m} \iff n < m$

Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше. $\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$, потому что $4 < 8$ (четверть крупнее восьмушки).

Обозначения

Запись	Название	Значение
$\frac{a}{b}$	Дробь	$a$ — числитель (над чертой), $b$ — знаменатель (под чертой)
$\frac{1}{2}$	Половина	Одна из двух равных частей
$\frac{1}{4}$	Четверть	Одна из четырёх равных частей
$\frac{1}{8}$	Восьмушка	Одна из восьми равных частей

Пример 1

Определение части пиццы.

Дано: Пиццу разрезали на $4$ равных куска. Петя взял $1$ кусок. Какую часть пиццы взял Петя?

Формула: $\frac{\text{взяли}}{\text{всего частей}} = \frac{a}{b}$

Подстановка: Всего частей $b = 4$, взяли $a = 1$. Дробь: $\frac{1}{4}$.

Ответ: Петя взял $\frac{1}{4}$ пиццы (одну четверть).

Пример 2

Сравнение долей на примере шоколадки.

Дано: Сравни $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{8}$. Какая доля больше?

Формула: $\frac{1}{n} > \frac{1}{m}$, если $n < m$. Чем на больше частей делим, тем мельче каждая часть.

Подстановка: $4 < 8$, значит $\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$. Четверть шоколадки больше, чем одна восьмая.

Ответ: $\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$.

Пример 3

Сравнение дробей с одинаковым знаменателем.

Дано: $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$. Какая дробь больше?

Формула: $\frac{a}{n} < \frac{b}{n}$, если $a < b$.

Подстановка: Знаменатели одинаковые ($5$). Сравниваем числители: $3 < 4$, значит $\frac{3}{5} < \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{4}{5}$. Лента разрезана на $5$ равных отрезков — $4$ отрезка длиннее, чем $3$.

Важно!

1. Числитель сверху, знаменатель снизу. $\frac{3}{8}$ и $\frac{8}{3}$ — разные числа! Числитель — «сколько взяли», знаменатель — «на сколько разделили».
2. Меньше знаменатель — крупнее доля. $\frac{1}{2} > \frac{1}{4} > \frac{1}{8}$. Деление на $2$ части даёт более крупные куски, чем на $8$.
3. Не сравнивай одинаковым правилом дроби с разными числителями И знаменателями. $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3}$ нельзя сравнить простым способом — нужен общий знаменатель (изучается позже).
4. Дробь — это число. $\frac{1}{2} = 0{,}5$, а не просто «половинка». На координатном луче дробь — точка между целыми числами.