Отрезок, угол, треугольник. Площади и объёмы

Определение. Отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается по его концам: отрезок $AB$ или $BA$.

Длина отрезка — расстояние между его концами. Измеряется в миллиметрах (мм), сантиметрах (см), метрах (м), километрах (км).

Равные отрезки имеют одинаковую длину. На чертеже равные отрезки отмечают одинаковым количеством чёрточек.

Определение. Угол

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Угол обозначается: $\angle ABC$ (буква вершины — в середине) или $\angle B$ (по вершине).

Виды углов по величине:

• Острый угол — меньше $90^\circ$;
• Прямой угол — ровно $90^\circ$;
• Тупой угол — больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$;
• Развёрнутый угол — ровно $180^\circ$.

Определение. Треугольник

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Обозначение: $\triangle ABC$. Стороны: $AB$, $BC$, $AC$. Сумма углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Пример 1

Измерение отрезков.

Дан отрезок $AB = 5$ см. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, причём $AC = 2$ см. Тогда:

$CB = AB - AC = 5 - 2 = 3 \text{ см}$

Пример 2

Измерение и сложение углов.

$\angle ABC = 45^\circ$ — острый угол. $\angle DEF = 120^\circ$ — тупой угол. Если сложить острый угол $30^\circ$ и прямой $90^\circ$, получим тупой $120^\circ$. Сумма углов треугольника: $60^\circ + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.

Формула. Периметр прямоугольника

Периметр — сумма длин всех сторон фигуры. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

$P = 2(a + b)$

Дано: $a = 5$ см, $b = 3$ см.

Формула: $P = 2(a + b)$

Подстановка: $P = 2(5 + 3) = 2 \cdot 8 = 16$ см

Ответ: $P = 16$ см.

Формула. Площадь прямоугольника

Площадь — мера поверхности фигуры. Для прямоугольника:

$S = a b$

Дано: $a = 5$ см, $b = 3$ см.

Формула: $S = a \cdot b$

Подстановка: $S = 5 \cdot 3 = 15$ см²

Ответ: $S = 15$ см².

Формула. Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

$S = \frac{1}{2} a h$

Дано: $a = 6$ см (основание), $h = 4$ см (высота).

Формула: $S = a \cdot h / 2$

Подстановка: $S = 6 \cdot 4 / 2 = 24 / 2 = 12$ см²

Ответ: $S = 12$ см².

Формула. Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём — мера пространства, занимаемого телом. Для прямоугольного параллелепипеда (коробки, комнаты):

$V = a b c$

Дано: $a = 5$ см, $b = 3$ см, $c = 2$ см.

Формула: $V = a \cdot b \cdot c$

Подстановка: $V = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$ см³

Ответ: $V = 30$ см³.

Обозначения

Символ	Название	Единицы
$AB$	Отрезок с концами $A$ и $B$	см, м
$\angle ABC$	Угол с вершиной $B$	градусы ($^\circ$)
$\triangle$	Треугольник	—
$P$	Периметр	см, м
$S$	Площадь	см², м²
$V$	Объём	см³, м³, л
$a, b, c$	Длина, ширина, высота	см, м

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — не различать периметр и площадь. Периметр $16$ см — это длина забора вокруг участка. Площадь $15$ см² — это сколько линолеума нужно на пол. Это разные величины, их нельзя сравнивать!

⚠️ Единицы измерения: сторона в сантиметрах → периметр в сантиметрах → площадь в квадратных сантиметрах (см²) → объём в кубических сантиметрах (см³). Никогда не путай: $5$ см — длина, $25$ см² — площадь, $125$ см³ — объём.

⚠️ В треугольнике сумма любых двух сторон всегда больше третьей. Стороны $3$, $4$, $8$ — треугольника не существует, потому что $3 + 4 < 8$. А $3$, $4$, $5$ — существует (это знаменитый прямоугольный треугольник).