Смешанные числа: сложение и вычитание

Определение

Смешанное число — запись, состоящая из целой части и дробной части. Смешанное число равно сумме целого числа и правильной дроби (числитель меньше знаменателя).

$2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4},\quad 3 < 4$

Например, $2\frac{3}{4}$ пиццы означает: две целые пиццы и ещё три четверти от третьей. Это удобнее, чем говорить «одиннадцать четвертей», хотя $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$ — одно и то же число.

Неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($\frac{11}{4}$, $\frac{8}{8}$). Любую неправильную дробь можно представить как смешанное число (или целое число).

Формула

Смешанное число: $a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$, где $b < c$.

Перевод неправильной дроби в смешанное число:

$\frac{a}{b} = c\frac{r}{b}, \quad a = b \cdot c + r,\quad 0 \le r < b$

Делим числитель на знаменатель: частное — целая часть, остаток — новый числитель, знаменатель не меняется.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь:

$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

Целое умножаем на знаменатель, прибавляем числитель — получаем новый числитель, знаменатель прежний.

Сложение смешанных чисел (одинаковый знаменатель):

$a\frac{b}{c} + d\frac{e}{c} = (a + d) + \frac{b + e}{c}$

Если после сложения дробная часть стала неправильной — выделяем целую часть.

Обозначения

Запись	Название	Значение
$a\frac{b}{c}$	Смешанное число	$a$ целых и $b/c$ (дробная часть)
$\frac{a}{b}$ ($a \ge b$)	Неправильная дробь	Числитель больше или равен знаменателю
$\frac{a}{b}$ ($a < b$)	Правильная дробь	Числитель меньше знаменателя

Пример 1

Смешанное число на примере печенья.

Дано: $2\frac{1}{2}$ печенья. Что означает эта запись?

Формула: $a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$ — целое плюс дробь.

Подстановка: $2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$: два целых печенья и ещё половинка.

Ответ: $2\frac{1}{2}$ — это два печенья и ещё половина.

Пример 2

Сложение смешанных чисел.

Дано: $1\frac{1}{4} + 2\frac{3}{4}$. Найти сумму.

Формула: $(1 + 2) + \frac{1 + 3}{4} = 3 + \frac{4}{4}$.

Подстановка: $\frac{4}{4} = 1$, значит $3 + 1 = 4$.

Ответ: $1\frac{1}{4} + 2\frac{3}{4} = 4$.

Пример 3

Перевод неправильной дроби в смешанное число.

Дано: $\frac{11}{4}$. Представить в виде смешанного числа.

Формула: Делим числитель на знаменатель: $11 \div 4 = 2$ (ост. $3$). Целая часть — $2$, остаток $3$ — новый числитель, знаменатель $4$.

Подстановка: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

Важно!

1. Смешанное число — это сумма, не произведение! $2\frac{3}{4}$ — это $2 + \frac{3}{4}$, а не $2 \times \frac{3}{4}$. Не ставь знак умножения между целой и дробной частью.
2. Неправильная дробь — не ошибка. $\frac{11}{4}$ и $2\frac{3}{4}$ — одно и то же число, разная запись. В задачах удобнее смешанное число, в вычислениях — неправильная дробь.
3. При сложении: целые к целым, дробные к дробным. Если дробная часть стала $\ge 1$ — выдели из неё целую часть (например, $\frac{4}{4} = 1$).
4. Нельзя записывать смешанное число с неправильной дробной частью. $1\frac{5}{4}$ следует записать как $2\frac{1}{4}$.
5. При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше вычитаемой, «занимаем» $1$ у целой части: $1 = \frac{c}{c}$.