Умножение и деление натуральных чисел

Определение

Умножение — арифметическое действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых.

$a \times b = c$

где $a$ и $b$ — множители, $c$ — произведение.

Умножить число $a$ на число $b$ — значит найти сумму $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$. Например, $5 \times 3 = 5 + 5 + 5 = 15$.

Деление — арифметическое действие, обратное умножению: по произведению и одному множителю находят другой.

$a \div b = c$

где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — частное. Деление на $0$ невозможно!

Формула

$a \times b = c \quad \text{(умножение)}$ $a \div b = c \quad \text{(деление нацело, } b \ne 0 \text{)}$ $a = b \cdot q + r,\quad 0 \le r < b \quad \text{(деление с остатком)}$

Свойства умножения:

• Переместительное: $a \times b = b \times a$
• Сочетательное: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• Умножение на $1$: $a \times 1 = a$
• Умножение на $0$: $a \times 0 = 0$

Обозначения

Знак	Название	Значение
$\times$	Умножить	Операция умножения (также $\cdot$)
$\div$	Разделить	Операция деления (также $:$)

Пример 1

Умножение многозначного числа на однозначное.

Дано: $347 \times 8$.

Формула: Умножаем поразрядно, начиная с единиц. При переходе через десяток запоминаем и прибавляем к следующему разряду.

Подстановка: Единицы: $7 \times 8 = 56$ → пишем $6$, $5$ в уме. Десятки: $4 \times 8 = 32$, плюс $5$ в уме $= 37$ → пишем $7$, $3$ в уме. Сотни: $3 \times 8 = 24$, плюс $3$ в уме $= 27$. Итого $2776$.

Ответ: $347 \times 8 = 2776$.

Пример 2

Умножение на двузначное число.

Дано: $347 \times 28$.

Формула: Умножаем сначала на единицы ($8$), потом на десятки ($20$) и складываем результаты.

Подстановка: $347 \times 8 = 2776$. $347 \times 20 = 6940$. Суммируем: $2776 + 6940 = 9716$.

Ответ: $347 \times 28 = 9716$.

Пример 3

Деление нацело.

Дано: $864 \div 24$.

Формула: Подбираем по одной цифре частного слева направо. Умножаем делитель на предполагаемую цифру и вычитаем.

Подстановка: $86 \div 24 \approx 3$ (так как $24 \times 3 = 72$). Вычитаем: $86 - 72 = 14$. Сносим $4$: $144 \div 24 = 6$ (ровно, $24 \times 6 = 144$). Итого $36$.

Ответ: $864 \div 24 = 36$. Проверка: $36 \times 24 = 864$ ✓.

Пример 4

Деление с остатком.

Дано: $1000 \div 37$.

Формула: Ищем неполное частное $q$ и остаток $r$ такие, что $1000 = 37 \cdot q + r$ и $0 \le r < 37$.

Подстановка: $37 \times 27 = 999$. Остаток: $1000 - 999 = 1$. Так как $1 < 37$, условие выполнено.

Ответ: $1000 \div 37 = 27$ (ост. $1$).

Важно!

1. Умножение на $0$ всегда даёт $0$: $a \times 0 = 0 \times a = 0$.
2. Умножение на $1$ не меняет число: $a \times 1 = a$.
3. Деление на $0$ невозможно. Нельзя делить ни на ноль, ни с нулём в делителе.
4. Остаток всегда меньше делителя: $0 \le r < b$. Если остаток равен нулю — деление нацело.
5. Умножение и деление — взаимно обратные действия для проверки: если $a \div b = c$, то $c \times b = a$.