Числовые и буквенные выражения. Уравнения

Определение

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Если выполнить все действия, получится число — значение выражения.

$1 + 2 \times 3 = 1 + 6 = 7$

Буквенное выражение — выражение, в котором кроме чисел и знаков действий есть буквы (переменные). Значение буквенного выражения зависит от того, какое число подставили вместо буквы.

$2x + 5,\quad \text{при } x = 3:\; 2 \times 3 + 5 = 11$

Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Решить уравнение — найти значение неизвестного, при котором равенство верно.

$x + 3 = 7,\quad x = 4$

Формула

Порядок действий (Правило СУДС):

$1)\; (\;),\quad 2)\; \times,\; \div\;\text{(слева направо)},\quad 3)\; +,\; -\;\text{(слева направо)}$

Сокращённо: СКОБКИ → УМНОЖЕНИЕ/ДЕЛЕНИЕ → СЛОЖЕНИЕ/ВЫЧИТАНИЕ.

Буквенное выражение: $ax + b$, где $x$ — переменная (буква-«окошко»).

Уравнение: левая часть $=$ правая часть. Решаем: переносим числа со сменой знака или выполняем одинаковое действие с обеими частями.

Обозначения

Символ	Название	Значение
$x$, $y$	Переменная	Неизвестное число
$=$	Равно	Левая часть равна правой
$(\;)$	Скобки	Меняют порядок: сначала внутри
$\times$, $\cdot$	Умножить	Знак умножения
$\div$, $:$	Разделить	Знак деления
$+$, $-$	Плюс, минус	Сложение, вычитание

Пример 1

Вычисление с соблюдением порядка действий.

Дано: $2 + 3 \times 4$.

Формула: Сначала умножение, затем сложение (умножение старше сложения).

Подстановка: $3 \times 4 = 12$, затем $2 + 12 = 14$.

Ответ: $14$. Ошибка: $(2 + 3) \times 4 = 20$ — если бы сложение шло первым, но скобок нет!

Пример 2

Решение уравнения на нахождение неизвестного слагаемого.

Дано: $x + 5 = 12$.

Формула: Чтобы найти неизвестное слагаемое, вычитаем из суммы известное слагаемое: $x = 12 - 5$.

Подстановка: $x = 12 - 5 = 7$.

Ответ: $x = 7$. Проверка: $7 + 5 = 12$ ✓.

Пример 3

Вычисление значения буквенного выражения.

Дано: $2x + 1$ при $x = 3$.

Формула: Подставляем число вместо буквы и вычисляем как числовое выражение.

Подстановка: $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: $7$.

Важно!

1. Сначала умножение, потом сложение! Без скобок $2 + 3 \times 4 = 14$, а не $20$. Умножение и деление всегда выполняются раньше сложения и вычитания.
2. Что делаем с левой частью — делаем и с правой. Прибавили $5$ к левой части уравнения — прибавь $5$ и к правой. Иначе равенство нарушится.
3. Буква — это «окошко» для числа. $2x$ означает $2 \times x$. При $x = 3$ подставляем и считаем: $2 \times 3 = 6$.
4. Не путай $2x + 5$ (буквенное) и $2 \times 3 + 5$ (числовое). Числовое — считаешь и получаешь число, буквенное — зависит от $x$.