Окружность и круг

Определение

Окружность — замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки — центра окружности $O$. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью (включая саму окружность и внутреннюю область). Таким образом, окружность — это граница, а круг — это граница вместе с внутренностью.

Радиус $r$ — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Диаметр $d$ — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности. Диаметр равен двум радиусам:

$$d = 2r$$

Число $\pi$ (пи) — постоянная величина, равная отношению длины любой окружности к её диаметру. Приближённое значение $\pi \approx 3{,}14$ (в задачах 6 класса используют именно его).

Формула

Длина окружности $C$ — расстояние вдоль замкнутой линии, образующей окружность. Вычисляется двумя эквивалентными способами:

$$C = 2\pi r = \pi d$$

Первая форма ($C = 2\pi r$) используется, когда известен радиус, вторая ($C = \pi d$) — когда известен диаметр. Поскольку $d = 2r$, обе формулы дают одинаковый результат.

Площадь круга $S$ — площадь части плоскости, ограниченной окружностью:

$$S = \pi r^{2}$$

Обрати внимание: в формуле площади радиус возводится в квадрат. Это важно: $S = \pi r^{2}$, а не $\pi \cdot r \cdot 2$ или $2\pi r^{2}$.

Обозначения

Запись	Название	Значение
$O$	Центр окружности/круга	Точка, равноудалённая от всех точек окружности
$r$	Радиус	Расстояние от центра до любой точки окружности
$d$	Диаметр	Отрезок через центр, соединяющий две точки окружности; $d = 2r$
$\pi$	Число пи	Отношение $C : d$; $\pi \approx 3{,}14$
$C$	Длина окружности	$C = 2\pi r = \pi d$
$S$	Площадь круга	$S = \pi r^{2}$

Пример 1: Вычисление длины окружности и площади круга по радиусу

Дана окружность с радиусом $r = 4$ см. Найти длину окружности $C$ и площадь круга $S$. При вычислениях использовать $\pi \approx 3{,}14$.

Дано: $r = 4$ см, $\pi \approx 3{,}14$.

Формула: Длина окружности $C = 2\pi r$. Площадь круга $S = \pi r^{2}$.

Подстановка: $C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 4 = 6{,}28 \cdot 4 = 25{,}12$ (см). $S = 3{,}14 \cdot 4^{2} = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24$ (см²).

Ответ: длина окружности $C = 25{,}12$ см; площадь круга $S = 50{,}24$ см².

Пример 2: Вычисление радиуса, длины окружности и площади круга по диаметру

Дан диаметр окружности $d = 10$ см. Найти радиус $r$, длину окружности $C$ и площадь круга $S$. Использовать $\pi \approx 3{,}14$.

Дано: $d = 10$ см, $\pi \approx 3{,}14$.

Формула: Радиус $r = d : 2$. Длина окружности $C = \pi d$. Площадь круга $S = \pi r^{2}$.

Подстановка: $r = 10 : 2 = 5$ (см). $C = 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4$ (см). $S = 3{,}14 \cdot 5^{2} = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ (см²).

Ответ: $r = 5$ см; $C = 31{,}4$ см; $S = 78{,}5$ см².

Пример 3: Обратная задача — от длины окружности к площади круга

Длина окружности $C = 62{,}8$ см. Найти диаметр $d$, радиус $r$ и площадь круга $S$. Использовать $\pi \approx 3{,}14$.

Дано: $C = 62{,}8$ см, $\pi \approx 3{,}14$.

Формула: Диаметр $d = C : \pi$. Радиус $r = d : 2 = C : (2\pi)$. Площадь круга $S = \pi r^{2}$.

Подстановка: $d = 62{,}8 : 3{,}14 = 20$ (см). $r = 20 : 2 = 10$ (см). $S = 3{,}14 \cdot 10^{2} = 3{,}14 \cdot 100 = 314$ (см²).

Ответ: $d = 20$ см; $r = 10$ см; $S = 314$ см².

Важно!

1. Не путай окружность и круг. Окружность — это линия (граница), её измеряют в единицах длины (см, м). Круг — это фигура (вся площадь внутри), её измеряют в квадратных единицах (см², м²). Если спрашивают «найди длину» — работаешь с окружностью и формулой $C = 2\pi r$. Если «найди площадь» — работаешь с кругом и формулой $S = \pi r^{2}$.

2. $\pi \approx 3{,}14$ — это приближение. В ответе допустимо оставить выражение с $\pi$ (например, $C = 10\pi$ см), но в 6 классе чаще требуют подставить $3{,}14$ и получить числовой ответ. При вычислениях с $3{,}14$ ответ также будет приближённым — это нормально.

3. Диаметр равен двум радиусам, и наоборот. $d = 2r$ и $r = d/2$. Эта связь используется почти в каждой задаче. Если в условии дан диаметр, а формула требует радиус (или наоборот) — сначала вырази нужную величину.

4. Не перепутай формулы $C$ и $S$. $C = 2\pi r$ — линейные единицы (см, м). $S = \pi r^{2}$ — квадратные (см², м²). Легко ошибиться: запомни, что $C$ содержит первую степень $r$, а $S$ — квадрат $r$.

5. Следи за единицами измерения. Все длины должны быть в одних единицах. Если радиус дан в сантиметрах, то и $C$ получится в сантиметрах, а $S$ — в квадратных сантиметрах. Ответ с неверными единицами считается ошибкой.