Координатная плоскость

Определение

Координатная плоскость — плоскость, на которой заданы две перпендикулярные координатные прямые: ось абсцисс $Ox$ (горизонтальная) и ось ординат $Oy$ (вертикальная). Точка пересечения осей — начало координат $O(0; 0)$. Каждой точке плоскости соответствует упорядоченная пара чисел $(x; y)$ — координаты точки, где $x$ — абсцисса (первая координата, откладывается по оси $Ox$), $y$ — ордината (вторая координата, откладывается по оси $Oy$). Порядок координат строгий: абсцисса всегда первая, ордината — вторая, то есть $(x; y)$, а не $(y; x)$.

Оси делят плоскость на четыре четверти (нумеруются против часовой стрелки, начиная с правой верхней):

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$;
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$;
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$;
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$.

Точки, лежащие на осях, не принадлежат ни одной четверти: на оси $Ox$ ордината $y = 0$, на оси $Oy$ абсцисса $x = 0$.

Формула

Координаты точки:

$$A(x; y),\quad x \in \mathbb{R},\; y \in \mathbb{R}$$

$x$ — абсцисса (расстояние со знаком до оси $Oy$), $y$ — ордината (расстояние со знаком до оси $Ox$).

Знаки координат по четвертям:

$$\begin{aligned} \text{I:}&\;(+; +) \\ \text{II:}&\;(-; +) \\ \text{III:}&\;(-; -) \\ \text{IV:}&\;(+; -) \end{aligned}$$

Точки на осях:

$$A(x; 0) \in Ox,\qquad B(0; y) \in Oy,\qquad O(0; 0) \text{ — начало координат}$$

Обозначения

Запись	Название	Значение
$Ox$	Ось абсцисс	Горизонтальная координатная ось
$Oy$	Ось ординат	Вертикальная координатная ось
$O(0; 0)$	Начало координат	Точка пересечения осей
$x$	Абсцисса	Первая координата точки, откладывается по $Ox$
$y$	Ордината	Вторая координата точки, откладывается по $Oy$
$(x; y)$	Координаты точки	Упорядоченная пара: абсцисса $x$, ордината $y$
I	Первая четверть	$x > 0$, $y > 0$
II	Вторая четверть	$x < 0$, $y > 0$
III	Третья четверть	$x < 0$, $y < 0$
IV	Четвёртая четверть	$x > 0$, $y < 0$

Пример 1: Построение точки в I четверти

Построить точку $A(3; 4)$ на координатной плоскости и определить её четверть.

Дано: точка $A(3; 4)$. Абсцисса $x = 3$, ордината $y = 4$.

Формула: $A(x; y)$ — откладываем $x$ по оси $Ox$, $y$ по оси $Oy$. Точка находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из точек $(x; 0)$ и $(0; y)$.

Подстановка: $x = 3 > 0$, $y = 4 > 0$. Откладываем $3$ единицы вправо по оси $Ox$, затем $4$ единицы вверх по оси $Oy$. Ставим точку на пересечении.

Ответ: точка $A(3; 4)$ находится в I четверти (оба знака положительные).

Пример 2: Построение точки во II четверти

Построить точку $B(-2; 5)$ на координатной плоскости и определить её четверть.

Дано: точка $B(-2; 5)$. Абсцисса $x = -2$, ордината $y = 5$.

Формула: $B(x; y)$ — абсцисса $x$ определяет смещение по горизонтали, ордината $y$ — по вертикали.

Подстановка: $x = -2 < 0$, $y = 5 > 0$. Откладываем $2$ единицы влево по оси $Ox$ (отрицательное направление), затем $5$ единиц вверх по оси $Oy$. Ставим точку на пересечении.

Ответ: точка $B(-2; 5)$ находится во II четверти ($x < 0$, $y > 0$).

Пример 3: Точка в III четверти и на осях

Определить четверть точки $C(-1; -3)$ и указать, лежит ли точка $D(0; 4)$ в какой-либо четверти.

Дано: $C(-1; -3)$: $x = -1$, $y = -3$. $D(0; 4)$: $x = 0$, $y = 4$.

Формула: четверть определяется знаками координат. Если $x = 0$ или $y = 0$, точка лежит на оси и не принадлежит ни одной четверти.

Подстановка: Для $C$: $x = -1 < 0$, $y = -3 < 0$ → III четверть. Для $D$: $x = 0$, $y = 4$ → точка лежит на оси $Oy$ (между I и II четвертями), четверти не принадлежит.

Ответ: $C(-1; -3)$ — III четверть. $D(0; 4)$ — лежит на оси $Oy$, ни одной четверти не принадлежит.

Важно!

1. Не путай порядок координат. Первое число в скобках $(x; y)$ — всегда абсцисса (ось $Ox$, горизонталь), второе — ордината (ось $Oy$, вертикаль). Запись $(3; 5)$ и $(5; 3)$ — это РАЗНЫЕ точки. Первая — на $3$ вправо и $5$ вверх, вторая — на $5$ вправо и $3$ вверх. Путаница с порядком — самая частая ошибка.

2. Знаки в четвертях — не заучивай, а понимай. I четверть: направо-вверх → оба плюс $(+; +)$. II: налево-вверх → минус-плюс $(-; +)$. III: налево-вниз → оба минус $(-; -)$. IV: направо-вниз → плюс-минус $(+; -)$. Если забыл — нарисуй стрелки направлений от начала координат.

3. Точки на осях не относятся к четвертям. Если $x = 0$, точка лежит на оси $Oy$. Если $y = 0$, точка лежит на оси $Ox$. Начало координат $(0; 0)$ — особая точка, лежит на обеих осях.

4. Абсцисса — это НЕ расстояние, а координата со знаком. Абсцисса $x$ равна расстоянию от точки до оси $Oy$, взятому со знаком (положительное — справа от $Oy$, отрицательное — слева). Аналогично ордината $y$ — расстояние со знаком до оси $Ox$ (положительное — выше $Ox$, отрицательное — ниже).

5. При построении точки двигайся по порядку. Сначала $x$ шагов по горизонтали (вправо, если $x > 0$; влево, если $x < 0$), затем $y$ шагов по вертикали (вверх, если $y > 0$; вниз, если $y < 0$). Не наоборот.