Делимость чисел: признаки, НОД и НОК

Определение

Делитель числа $a$ — натуральное число $d$, на которое $a$ делится без остатка. Обозначается $d \mid a$ (читается «$d$ делит $a$»). Если остаток не равен нулю — $d$ не делит $a$.

$d \mid a \iff a = d \cdot k,\quad k \in \mathbb{N}$

Кратное числа $a$ — число $m$, которое делится на $a$ без остатка ($a \mid m$). Например, $12$ кратно $3$ ($3 \mid 12$), $36$ кратно $12$.

Чётное число — делится на $2$ без остатка. Нечётное число — не делится на $2$. Чётные: $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ Нечётные: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$

Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: $1$ и само число ($2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots$).

Составное число — натуральное число, имеющее больше двух делителей ($4 = 1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$, делители $1, 2, 4$).

Число $1$ не является ни простым, ни составным — у него только один делитель (само $1$).

Разложение на простые множители — представление составного числа в виде произведения простых чисел. Например: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Разложение единственно (основная теорема арифметики).

Наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$ — самое большое число, на которое делятся оба данных числа. Обозначение: $\text{НОД}(a, b)$.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a$ и $b$ — самое маленькое число (кроме $0$), которое делится на оба данных числа. Обозначение: $\text{НОК}(a, b)$.

Взаимно простые числа — числа, у которых $\text{НОД} = 1$ (нет общих делителей кроме $1$). Например: $14$ и $15$, $8$ и $9$.

Признаки делимости

На $2$: число делится на $2$, если его последняя цифра чётная ($0, 2, 4, 6, 8$).

На $5$: число делится на $5$, если оно оканчивается на $0$ или $5$.

На $10$: число делится на $10$, если оно оканчивается на $0$.

На $3$: число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.

На $9$: число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$.

На $4$: число делится на $4$, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на $4$. Например: $3124 \to 24 \div 4 = 6$ — делится.

На $25$: число делится на $25$, если оно оканчивается на $00$, $25$, $50$ или $75$.

💡 Замечание: делимость на $6$ проверяется комбинацией признаков: число должно быть чётным (признак на $2$) и сумма цифр делиться на $3$ (признак на $3$).

НОД и НОК

Способ 1 — через разложение на простые множители:

• НОД: разложить оба числа на простые множители, взять общие множители с наименьшими степенями и перемножить.
• НОК: разложить оба числа на простые множители, взять все множители (и общие, и необщие) с наибольшими степенями и перемножить.

Способ 2 — через формулу:

$\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}$

Обозначения

Запись	Название	Значение
$a \mid b$	$a$ делит $b$	$b = a \cdot k$, $k \in \mathbb{N}$
$a \nmid b$	$a$ не делит $b$	Деление с остатком $\ne 0$
$\text{НОД}(a, b)$	Наибольший общий делитель	Самое большое число, делящее $a$ и $b$
$\text{НОК}(a, b)$	Наименьшее общее кратное	Самое маленькое число, делящееся на $a$ и $b$

Пример 1

Признаки делимости на практике.

Дано: число $5040$. Определить, делится ли оно на $2$, $3$, $4$, $5$, $9$, $10$.

Формула: Признаки делимости (последняя цифра / сумма цифр / две последние цифры).

Подстановка: На $2$: последняя цифра $0$ — чётная → делится. На $3$: $5+0+4+0 = 9$, $9 \div 3 = 3$ → делится. На $4$: две последние цифры $40$, $40 \div 4 = 10$ → делится. На $5$: оканчивается на $0$ → делится. На $9$: $5+0+4+0 = 9$, $9 \div 9 = 1$ → делится. На $10$: оканчивается на $0$ → делится.

Ответ: $5040$ делится на $2$, $3$, $4$, $5$, $9$, $10$.

Пример 2

Нахождение НОД через разложение на простые множители.

Дано: Найти $\text{НОД}(60, 84)$.

Формула: Раскладываем на простые множители, берём общие с минимальными степенями.

Подстановка: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$. Общие простые множители: $2$ (min степень $2^2$) и $3$ (min степень $3^1$). $\text{НОД} = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: $\text{НОД}(60, 84) = 12$.

Пример 3

Нахождение НОК.

Дано: Найти $\text{НОК}(12, 18)$.

Формула: $\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}$.

Подстановка: $\text{НОД}(12, 18) = 6$ ($12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$). $\text{НОК} = \frac{12 \cdot 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$.

Ответ: $\text{НОК}(12, 18) = 36$.

Важно!

1. Число $1$ — не простое! У простого числа должно быть ровно $2$ делителя, а у $1$ — только один. Не записывай $1$ в разложение на простые множители.
2. Ноль делится на любое натуральное число, но делить на ноль нельзя. $0$ не может быть делителем.
3. При разложении на простые множители делим только на простые числа, начиная с $2$: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ Не путай простое число $2$ с признаком делимости на $2$.
4. НОД взаимно простых чисел всегда равен $1$ (например, $\text{НОД}(8, 9) = 1$). НОК взаимно простых чисел равен их произведению ($\text{НОК}(8, 9) = 72$).
5. Признак делимости на $3$ и $9$ работает и для больших чисел: если сумма цифр получилась многозначной, можно сложить цифры суммы снова, пока не останется одна цифра.