Раскрытие скобок. Решение уравнений

Определение

Раскрытие скобок — преобразование выражения, при котором скобки убираются с учётом знака перед ними. Если перед скобкой плюс, знаки внутри сохраняются. Если минус — все знаки внутри меняются на противоположные. Это прямое следствие распределительного свойства умножения: $-(b + c) = -1 \cdot (b + c) = -b - c$.

Коэффициент — числовой множитель при буквенном выражении. В записи $5x$ коэффициент равен $5$, в записи $-3y$ коэффициент равен $-3$, в записи $x$ коэффициент равен $1$ (не пишется, но подразумевается).

Подобные слагаемые — слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Например, $3x$ и $7x$ подобны, а $3x$ и $3y$ — нет. Подобные слагаемые можно привести (сложить или вычесть), сложив их коэффициенты и сохранив буквенную часть: $ax + bx = (a + b)x$.

Уравнение — равенство, содержащее неизвестное (обычно обозначаемое буквой $x$). Линейное уравнение — уравнение вида $ax + b = c$, где $a$, $b$, $c$ — числа, $a \neq 0$. Корень уравнения — значение неизвестного, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни.

Основной принцип решения: что делаем с одной частью уравнения, то же самое делаем и с другой. Уравнение — как весы: чтобы сохранить равновесие, на обе чаши нужно добавлять (или убирать) поровну.

Формула

Раскрытие скобок (знак +):

$$a + (b + c) = a + b + c$$ $$a + (b - c) = a + b - c$$

Скобки убираются, знаки внутри не меняются.

Раскрытие скобок (знак −):

$$a - (b + c) = a - b - c$$ $$a - (b - c) = a - b + c$$

Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри на противоположный.

Приведение подобных слагаемых:

$$ax + bx = (a + b)x$$ $$ax - bx = (a - b)x$$

Коэффициенты складываются (или вычитаются), буквенная часть остаётся.

Решение линейного уравнения (перенос слагаемого):

$$ax + b = c \;\Rightarrow\; ax = c - b$$

После переноса находим неизвестное делением на коэффициент:

$$x = \frac{c - b}{a}, \quad a \neq 0$$

Пример 1: Раскрытие скобок с положительным знаком

Раскрыть скобки и упростить выражение: $3x + (2x - 5)$.

Дано: выражение $3x + (2x - 5)$. Перед скобкой стоит знак $+$.

Формула: $a + (b + c) = a + b + c$ и $a + (b - c) = a + b - c$. Приведение подобных: $ax + bx = (a + b)x$.

Подстановка: $3x + (2x - 5) = 3x + 2x - 5 = (3 + 2)x - 5 = 5x - 5$.

Ответ: $5x - 5$. Знаки внутри скобок сохранились, подобные слагаемые $3x$ и $2x$ приведены.

Пример 2: Раскрытие скобок с отрицательным знаком

Раскрыть скобки и упростить выражение: $7 - (2x - 3)$.

Дано: выражение $7 - (2x - 3)$. Перед скобкой стоит знак $-$.

Формула: $a - (b - c) = a - b + c$. Минус перед скобкой — как умножение на $-1$: $-(2x - 3) = -1 \cdot (2x) + (-1) \cdot (-3) = -2x + 3$.

Подстановка: $7 - (2x - 3) = 7 - 2x + 3 = 10 - 2x$.

Ответ: $10 - 2x$ (или $-2x + 10$ — порядок слагаемых не важен). Знак каждого слагаемого внутри скобки изменился: $+2x$ стал $-2x$, $-3$ стал $+3$.

Пример 3: Решение линейного уравнения переносом

Решить уравнение: $3x - 5 = x + 7$.

Дано: уравнение $3x - 5 = x + 7$. Уравнение содержит неизвестное в обеих частях.

Формула: перенос слагаемого через знак равенства с противоположным знаком. Приведение подобных: $ax - bx = (a - b)x$.

Подстановка:

1. Переносим $+x$ из правой части в левую (меняем знак на $-$): $3x - 5 - x = 7$.
2. Переносим $-5$ из левой части в правую (меняем знак на $+$): $3x - x = 7 + 5$.
3. Приводим подобные: $(3 - 1)x = 7 + 5$, то есть $2x = 12$.
4. Делим обе части на коэффициент при $x$: $x = \frac{12}{2} = 6$.
5. Проверка: $3 \cdot 6 - 5 = 18 - 5 = 13$; $6 + 7 = 13$. $13 = 13$ — верно.

Ответ: $x = 6$.

Важно!

1. Минус перед скобкой меняет знак всех слагаемых внутри. Нельзя убрать скобки и забыть поменять знак хотя бы одного слагаемого. $- (a + b - c) = -a - b + c$, а не $-a + b - c$. Каждый знак внутри переворачивается.

2. Коэффициент $1$ не пишется, но существует. $x$ — это $1 \cdot x$, а $-x$ — это $-1 \cdot x$. При решении уравнения $-x = 5$ нужно умножить обе части на $-1$: $x = -5$. Не забывай про невидимый коэффициент.

3. При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется. $x + 7 = 12$ → $x = 12 - 7 = 5$. Если перенести $+7$ без смены знака, получится $x = 12 + 7 = 19$ — неверно. Правило: что прибавил к левой части, вычти из правой (и наоборот).

4. Всегда делай проверку подстановкой. Подставь найденный корень в исходное уравнение и убедись, что левая часть равна правой. Это занимает несколько секунд, но защищает от ошибок с переносом и арифметикой.

5. Не складывай слагаемые с разными буквенными частями. $3x$ и $5$ — не подобные слагаемые. $3x + 5$ так и остаётся $3x + 5$, а не $8x$ или $8$. Складывать можно только одинаковые буквы: $3x + 5x = 8x$.