Умножение и деление обыкновенных дробей

Определение

Взаимно обратные числа — два числа, произведение которых равно $1$. Для дроби $\frac{a}{b}$ (где $a \neq 0$ и $b \neq 0$) обратной является дробь $\frac{b}{a}$. Для натурального числа $n$ обратным является $\frac{1}{n}$.

Умножение дробей — чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели; первое произведение — числитель, второе — знаменатель:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Умножение дроби на натуральное число — числитель умножается на это число, а знаменатель остаётся прежним:

$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

Деление дробей — чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Нахождение дроби от числа — предлог «от» в математике означает умножение. Чтобы найти $\frac{m}{n}$ от числа $k$, нужно $k$ умножить на $\frac{m}{n}$.

Нахождение числа по его дроби — если известно, что $\frac{m}{n}$ от неизвестного числа $x$ равно $k$, то $x$ находят делением $k$ на дробь $\frac{m}{n}$ (то есть умножением на обратную $\frac{n}{m}$).

Формула

Умножение дробей (основная):

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Деление дробей (основная):

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Умножение дроби на натуральное число:

$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

Нахождение дроби от числа:

$\frac{m}{n} \text{ от } k = k \cdot \frac{m}{n}$

Нахождение числа по его дроби:

$\frac{m}{n} \text{ числа } x = k \quad\Rightarrow\quad x = k : \frac{m}{n} = k \cdot \frac{n}{m}$

После любого умножения или деления дробей результат необходимо сокращать до несократимой дроби. При умножении выгодно сокращать до перемножения — крест-накрест: числитель первой дроби со знаменателем второй и наоборот.

Обозначения

Запись	Название	Значение
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$	Умножение дробей	Произведение числителей, делённое на произведение знаменателей
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$	Деление дробей	Делимое умножается на $\frac{d}{c}$ (обратную к делителю)
$\frac{b}{a}$	Обратная дробь к $\frac{a}{b}$	Дробь, для которой $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$
$\frac{m}{n}$ от $k$	Дробь от числа	$k \cdot \frac{m}{n}$ — умножение числа на дробь
$k : \frac{m}{n}$	Число по его дроби	$k \cdot \frac{n}{m}$ — деление на дробь через обратную

Пример 1: Умножение дробей

Вычислить: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$.

Дано: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$. Найти произведение.

Формула: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Подстановка: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20}$. Сокращаем на $2$: $\frac{6 : 2}{20 : 2} = \frac{3}{10}$. Можно было сократить до умножения крест-накрест: $3$ и $5$ не имеют общих делителей, $2$ и $4$ имеют общий делитель $2$ — сокращаем: $\frac{3}{\cancel{4}_2} \cdot \frac{\cancel{2}_1}{5} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

Пример 2: Деление дробей

Вычислить: $\frac{5}{8} : \frac{3}{4}$.

Дано: $\frac{5}{8} : \frac{3}{4}$. Найти частное.

Формула: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Обратная к $\frac{3}{4}$ — $\frac{4}{3}$.

Подстановка: $\frac{5}{8} : \frac{3}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 3}$. Сокращаем $4$ и $8$ крест-накрест на $4$: $\frac{5 \cdot \cancel{4}_1}{\cancel{8}_2 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

Пример 3: Нахождение дроби от числа

Найти $\frac{3}{5}$ от $20$ килограммов муки.

Дано: Число $20$ кг. Найти $\frac{3}{5}$ от $20$ кг.

Формула: $\frac{m}{n}$ от $k = k \cdot \frac{m}{n}$

Подстановка: $\frac{3}{5}$ от $20 = 20 \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 \cdot 3}{5}$. Сокращаем $20$ и $5$ крест-накрест на $5$: $\frac{\cancel{20}_4 \cdot 3}{\cancel{5}_1} = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: $12$ кг муки.

Пример 4: Нахождение числа по его дроби

Бригада строителей заасфальтировала $\frac{5}{6}$ дороги, что составило $40$ метров. Найдите длину всей дороги.

Дано: $\frac{5}{6}$ дороги — это $40$ м. Найти длину всей дороги $x$.

Формула: $\frac{m}{n}$ числа $x = k$ $\Rightarrow$ $x = k : \frac{m}{n} = k \cdot \frac{n}{m}$

Подстановка: $x = 40 : \frac{5}{6} = 40 \cdot \frac{6}{5} = \frac{40 \cdot 6}{5}$. Сокращаем $40$ и $5$ на $5$: $\frac{\cancel{40}_8 \cdot 6}{\cancel{5}_1} = 8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: $48$ м — длина всей дороги. Проверка: $\frac{5}{6} \cdot 48 = \frac{5 \cdot 48}{6} = \frac{240}{6} = 40$ м — верно.

Пример 5: Умножение дроби на натуральное число

Вычислить: $\frac{3}{7} \cdot 14$.

Дано: $\frac{3}{7} \cdot 14$. Найти произведение.

Формула: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

Подстановка: $\frac{3}{7} \cdot 14 = \frac{3 \cdot 14}{7}$. Сокращаем $14$ и $7$ на $7$: $\frac{3 \cdot \cancel{14}_2}{\cancel{7}_1} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.

Важно!

1. При умножении дробей после перемножения обязательно сокращай результат. Лучше сокращать крест-накрест до умножения — так числа становятся меньше и считать легче. Например, $\frac{6}{8} \cdot \frac{4}{9}$: сокращаем $6$ и $9$ на $3$, $4$ и $8$ на $4$ — получаем $\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2. При делении дробей переворачивается только делитель (вторая дробь), а делимое (первая дробь) остаётся без изменений. $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4}$, а не $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5}$. Не переворачивай обе дроби!

3. Не путай «дробь от числа» и «число по его дроби». Первое — умножение (ищем часть от известного целого), второе — деление (ищем целое по известной части). Подсказка: если ответ должен быть меньше исходного числа — это «дробь от числа»; если больше — «число по его дроби».

4. При умножении дроби на натуральное число умножается только числитель. Не умножать знаменатель! $\frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{6}{5}$, а не $\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ (так получится та же самая дробь — это ошибка).

5. Ноль не имеет обратного числа. На ноль делить нельзя. Дробь $\frac{0}{b} = 0$ не имеет обратной, потому что $\frac{b}{0}$ не существует.