Сокращение дробей. Сложение и вычитание с разными знаменателями

Определение

Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же натуральное число $k$ (кроме $0$), то получится дробь, равная данной:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k},\qquad \frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k},\quad k \in \mathbb{N}$

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Если разделить на наибольший общий делитель (НОД) — получится несократимая дробь.

Несократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа (их $\text{НОД} = 1$). Дальше сокращать нельзя. Например, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{3}{4}$ — несократимые дроби.

Приведение к общему знаменателю — замена двух (или нескольких) дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Обычно берут наименьший общий знаменатель — это $\text{НОК}$ исходных знаменателей.

Сравнение дробей с разными знаменателями — приводим к общему знаменателю и сравниваем числители. Больше та дробь, у которой числитель больше.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — приводим к общему знаменателю, затем складываем (или вычитаем) числители, знаменатель оставляем общим. При необходимости сокращаем результат.

Основное свойство дроби

Из основного свойства следуют два ключевых действия:

1. Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число — так приводят дроби к общему знаменателю.
2. Деление числителя и знаменателя на одно и то же число — так сокращают дроби.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$

$\frac{12}{18} = \frac{12 : 2}{18 : 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3}$

Если числитель и знаменатель умножаем на одно и то же число — получаем дробь, равную исходной. Никакой магии — просто другое представление того же числа.

Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Для получения несократимой дроби делим на НОД числителя и знаменателя (из темы «Делимость чисел»).

Алгоритм сокращения:

1. Найти $\text{НОД}$(числитель, знаменатель) — можно через разложение на простые множители или подбором.
2. Разделить числитель на $\text{НОД}$.
3. Разделить знаменатель на $\text{НОД}$.
4. Проверить: $\text{НОД}$(новый числитель, новый знаменатель) = 1? Если нет — сокращать ещё.

Способы сокращения:

• Постепенное сокращение — делить на небольшие общие делители по очереди (на $2$, потом на $3$ и т.д.), пока возможно.
• Полное сокращение — сразу разделить на $\text{НОД}$.

Пример: $\frac{36}{48}$. НОД(36, 48) = 12. $\frac{36:12}{48:12} = \frac{3}{4}$ — несократимая дробь.

Приведение к общему знаменателю

Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель — это НОК знаменателей (из темы «Делимость чисел: признаки, НОД и НОК»).

Алгоритм приведения к общему знаменателю:

1. Найти $\text{НОК}$(знаменатель₁, знаменатель₂).
2. Найти дополнительные множители: для каждой дроби разделить НОК на её знаменатель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Пример: привести $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$ к общему знаменателю. НОК(4, 6) = 12. Дополнительный множитель для $\frac{1}{4}$: $12:4 = 3$, получаем $\frac{3}{12}$. Для $\frac{1}{6}$: $12:6 = 2$, получаем $\frac{2}{12}$.

Сравнение дробей

Сравнить дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$:

1. Найти НОК$(b, d)$ — общий знаменатель.
2. Привести обе дроби к этому знаменателю.
3. Сравнить получившиеся числители: больше та дробь, у которой числитель больше.

Пример: сравнить $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. НОК(3, 4) = 12. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. $8 < 9$, значит $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Сложение и вычитание

Сложение: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Вычитание: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

На практике чаще используют НОК-метод:

1. Привести дроби к общему знаменателю (через НОК).
2. Сложить (или вычесть) числители, знаменатель оставить общим.
3. Сократить результат до несократимой дроби.

Обозначения

Запись	Название	Значение
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$	Основное свойство	Умножаем обе части на $k$ — дробь не меняется
$\frac{a}{b} = \frac{a : d}{b : d}$	Сокращение	Делим на общий делитель $d$
$\text{НОД}(a, b)$	Наибольший общий делитель	Используется для сокращения до несократимой дроби
$\text{НОК}(b, d)$	Наименьшее общее кратное	Наименьший общий знаменатель для дробей

Пример 1: Сокращение дроби

Сокращение 18/24 до несократимой.

Дано: $\frac{18}{24}$. Сократить до несократимой дроби.

Формула: Найти НОД(18, 24), разделить числитель и знаменатель на НОД.

Подстановка: Разложение: $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$. НОД = $2 \cdot 3 = 6$. Делим: $\frac{18:6}{24:6} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ — несократимая дробь (НОД(3, 4) = 1).

Пример 2: Приведение к общему знаменателю и сложение

Сложение двух дробей с разными знаменателями.

Дано: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$. Вычислить сумму.

Формула: НОК(4, 6) = 12 — общий знаменатель. Найти дополнительные множители, привести, сложить.

Подстановка: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$. $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$.

Пример 3: Сравнение дробей

Какая дробь больше — 5/6 или 7/8?

Дано: Сравнить $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{8}$.

Формула: НОК(6, 8) = 24. Привести обе дроби к знаменателю 24.

Подстановка: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$, $\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$. $20 < 21$, значит $\frac{5}{6} < \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{7}{8}$ (7/8 больше).

Пример 4: Вычитание с разными знаменателями

Разность дробей 5/6 и 2/9.

Дано: $\frac{5}{6} - \frac{2}{9}$. Вычислить разность.

Формула: НОК(6, 9) = 18. Привести, вычесть числители.

Подстановка: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$, $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$. $\frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{5}{6} - \frac{2}{9} = \frac{11}{18}$.

Пример 5: Смешанные числа с разными знаменателями

Сложение смешанных чисел, связь с темой «Смешанные числа» (5 класс).

Дано: $1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6}$. Вычислить сумму.

Формула: Привести дробные части к общему знаменателю. НОК(4, 6) = 12.

Подстановка: $1\frac{1}{4} = 1\frac{3}{12}$, $2\frac{1}{6} = 2\frac{2}{12}$. Складываем: целые $1+2=3$, дробные $\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$. Итого: $3\frac{5}{12}$.

Ответ: $1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6} = 3\frac{5}{12}$.

Важно!

1. Сокращать можно только тогда, когда числитель и знаменатель делятся на одно и то же число. Нельзя сократить $\frac{3}{4}$ на $3$ — знаменатель $4$ не делится на $3$.
2. При приведении к общему знаменателю не забывай умножать числитель. Если знаменатель умножили на $3$, числитель тоже умножаем на $3$ — иначе дробь изменится.
3. Не путай НОД и НОК. НОД — для сокращения (делим), НОК — для общего знаменателя (умножаем). Вспомни тему «Делимость чисел: признаки, НОД и НОК».
4. Несократимая дробь — не просто «сокращённая». Проверь: НОД(числитель, знаменатель) = 1. $\frac{6}{8}$ сокращена, но сократима дальше до $\frac{3}{4}$.
5. После сложения или вычитания обязательно сокращай результат. Ответ $\frac{2}{4}$ — неокончательный, нужно $\frac{1}{2}$.
6. При вычитании смешанных чисел, если дробная часть уменьшаемого меньше вычитаемой, занимай единицу у целой части: $3\frac{1}{5} = 2\frac{6}{5}$.