Положительные и отрицательные числа. Модуль

Определение

Координатная прямая — прямая с выбранным началом отсчёта (точка $0$), единичным отрезком и направлением. Вправо от нуля откладываются положительные числа, влево — отрицательные.

Положительные числа — числа, расположенные справа от нуля на координатной прямой. Обозначаются знаком «$+$» (обычно опускается): $+3 = 3$, $+1{,}5 = 1{,}5$.

Отрицательные числа — числа, расположенные слева от нуля на координатной прямой. Всегда записываются со знаком «$-$»: $-1$, $-3{,}5$, $-\frac{2}{3}$.

Целые числа — множество, состоящее из натуральных чисел ($1, 2, 3, \dots$), противоположных им ($-1, -2, -3, \dots$) и нуля ($0$).

Противоположные числа — два числа, которые отличаются только знаком и находятся на одинаковом расстоянии от нуля на координатной прямой. Например, $5$ и $-5$ — противоположные числа. Противоположное к $a$ записывается как $-a$.

Модуль числа $a$ (обозначается $|a|$) — расстояние от точки $a$ на координатной прямой до начала отсчёта (нуля). Модуль всегда неотрицателен: $|a| \ge 0$ для любого $a$.

Формула

Свойство модуля числа:

$$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0, \\ -a, & \text{если } a < 0. \end{cases}$$

Словами: модуль неотрицательного числа равен самому числу; модуль отрицательного числа равен противоположному (положительному) числу.

Основные правила сравнения:

• Любое положительное число больше любого отрицательного.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше (оно ближе к нулю).

Обозначения

Запись	Название	Значение
$+a$ или $a$	Положительное число	Число со знаком $+$ (знак часто опускается)
$-a$	Отрицательное число / противоположное	Число со знаком $-$; либо число, противоположное $a$
$\|a\|$	Модуль числа $a$	Расстояние от $a$ до нуля, всегда $\ge 0$
$-(-a) = a$	Двойной минус	Минус перед скобкой меняет знак на противоположный
$a < b$	Сравнение	Число $a$ расположено левее $b$ на координатной прямой

Пример 1: На координатной прямой

Отметить на координатной прямой точки $A(3)$, $B(-4)$, $C(0)$, $D(-1{,}5)$, $E(2)$ и найти расстояние от каждой до начала отсчёта.

Дано: точки $A(3)$, $B(-4)$, $C(0)$, $D(-1{,}5)$, $E(2)$.

Формула: расстояние от точки до нуля на координатной прямой равно модулю координаты этой точки: $d = |a|$.

Подстановка: $d_A = |3| = 3$, $d_B = |-4| = 4$, $d_C = |0| = 0$, $d_D = |-1{,}5| = 1{,}5$, $d_E = |2| = 2$.

Ответ: расстояния до начала отсчёта: $3$, $4$, $0$, $1{,}5$, $2$. Точка $B(-4)$ — самая удалённая (расстояние $4$), точка $C(0)$ совпадает с началом отсчёта (расстояние $0$).

Пример 2: Сравнение отрицательных чисел

Сравнить числа $-5$ и $-2$. Какое из них меньше?

Дано: два отрицательных числа $-5$ и $-2$.

Формула: на координатной прямой точка с меньшей координатой лежит левее. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: если $a < 0$, $b < 0$, то $a < b \iff |a| > |b|$.

Подстановка: $|-5| = 5$, $|-2| = 2$. Так как $5 > 2$, имеем $-5 < -2$. На координатной прямой точка $-5$ расположена левее точки $-2$ на $3$ единичных отрезка.

Ответ: $-5 < -2$. Минус пять меньше минус двух — это непривычно, но правильно: чем больше долг, тем меньше денег. Запомни: чем левее на прямой, тем меньше число.

Пример 3: Модуль числа

Вычислить $|-7|$ и $|4|$. Объяснить, почему модуль не может быть отрицательным.

Дано: числа $a = -7$ и $b = 4$.

Формула: $|a| = a$, если $a \ge 0$; $|a| = -a$, если $a < 0$.

Подстановка: для $a = -7 < 0$: $|-7| = -(-7) = 7$. Для $b = 4 \ge 0$: $|4| = 4$.

Ответ: $|-7| = 7$, $|4| = 4$. Модуль — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным: сколько бы шагов ни прошёл влево, расстояние всегда считается положительным.

Важно!

1. Отрицательные числа не являются отсутствием: они полноценные числа, с помощью которых описывают долг, мороз, глубину. Наличие минуса не делает число «ненастоящим» — это просто указание направления на координатной прямой.

2. Модуль никогда не бывает отрицательным: $|-a| = |a| = a$ (для $a > 0$). Расстояние от точки до нуля не может быть отрицательным, по какой бы стороне от нуля точка ни находилась.

3. Противоположные числа: $-(-a) = a$ — двойной минус даёт плюс. Число, противоположное к $-3$, это $-(-3) = 3$. Противоположное к $7$ — это $-7$. Противоположное к $0$ — сам ноль.

4. Сравнение отрицательных чисел может обмануть интуицию: $-5 < -2$, потому что на прямой $-5$ левее $-2$. Хотя по абсолютной величине $5 > 2$, из отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.