Отношения и пропорции. Масштаб

Определение

Отношение двух чисел — частное от деления одного числа на другое. Отношение $a$ к $b$ (где $b \neq 0$) записывается как $a : b$ или $\frac{a}{b}$ и читается «$a$ относится к $b$». Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Пропорция — равенство двух отношений:

$a : b = c : d \quad\text{или}\quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Числа $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, числа $b$ и $c$ — средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$a \cdot d = b \cdot c$

Коротко — правило «крест-накрест»: перемножаем крестом и приравниваем.

Прямая пропорциональная зависимость — зависимость, при которой с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Если величины $x$ и $y$ прямо пропорциональны, то $\frac{y}{x} = k$ (постоянная), или $y = kx$.

Обратная пропорциональная зависимость — зависимость, при которой с увеличением одной величины в несколько раз другая величина уменьшается во столько же раз. Если величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны, то $x \cdot y = k$ (постоянная), или $y = \frac{k}{x}$.

Масштаб — отношение длины отрезка на карте (плане, чертеже) к соответствующей длине на местности:

$M = \frac{\text{длина на карте}}{\text{длина на местности}}$

Масштаб записывают в виде $1 : N$, где $N$ показывает, во сколько раз уменьшена реальная местность. Например, масштаб $1 : 100\,000$ означает, что $1$ см на карте соответствует $100\,000$ см = $1$ км на местности.

Формула

Основное свойство пропорции (крест-накрест):

$a : b = c : d \quad\Rightarrow\quad a \cdot d = b \cdot c$

Выражение неизвестного члена пропорции:

$a : b = c : x \quad\Rightarrow\quad x = \frac{b \cdot c}{a}$

$a : x = c : d \quad\Rightarrow\quad x = \frac{a \cdot d}{c}$

Масштаб:

$M = \frac{\ell_{\text{карта}}}{\ell_{\text{местность}}}$

$\ell_{\text{местность}} = \ell_{\text{карта}} \cdot N \quad\text{(при масштабе } 1:N\text{)}$

Прямая пропорциональность:

$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \quad\Rightarrow\quad y_2 = \frac{y_1 \cdot x_2}{x_1}$

Обратная пропорциональность:

$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \quad\Rightarrow\quad y_2 = \frac{x_1 \cdot y_1}{x_2}$

Обозначения

Запись	Название	Значение
$a : b$	Отношение	Частное $a \div b$, показывает сравнение двух величин
$a : b = c : d$	Пропорция	Равенство двух отношений
$a, d$	Крайние члены	Первый и последний члены пропорции
$b, c$	Средние члены	Второй и третий члены пропорции
$a \cdot d = b \cdot c$	Основное свойство	Произведение крайних равно произведению средних
$1 : N$	Масштаб	Отношение размера на карте к размеру на местности
$y = kx$	Прямая пропорциональность	Связь величин с постоянным отношением $k$
$x \cdot y = k$	Обратная пропорциональность	Связь величин с постоянным произведением $k$

Пример 1: Нахождение неизвестного члена пропорции

Найти $x$ из пропорции $3 : 4 = 6 : x$.

Дано: пропорция $3 : 4 = 6 : x$. Здесь $a = 3$, $b = 4$, $c = 6$, $d = x$ — неизвестен.

Формула: основное свойство пропорции $a \cdot d = b \cdot c$. Подставляем: $3 \cdot x = 4 \cdot 6$.

Подстановка: $3x = 24$. Делим обе части на $3$: $x = 24 : 3 = 8$.

Ответ: $x = 8$. Проверка: $3 : 4 = 0{,}75$ и $6 : 8 = 0{,}75$ — пропорция верна.

Пример 2: Масштаб карты

Расстояние между двумя городами на карте с масштабом $1 : 2\,000\,000$ равно $3$ см. Найти реальное расстояние.

Дано: масштаб $1 : 2\,000\,000$, длина на карте $\ell_{\text{к}} = 3$ см.

Формула: $\ell_{\text{м}} = \ell_{\text{к}} \cdot N$, где $N = 2\,000\,000$.

Подстановка: $\ell_{\text{м}} = 3 \cdot 2\,000\,000 = 6\,000\,000$ см. Переводим в километры: $6\,000\,000 : 100\,000 = 60$ км (так как в $1$ км $100\,000$ см).

Ответ: $60$ км — реальное расстояние между городами. Проверка: $\frac{3}{6\,000\,000} = \frac{1}{2\,000\,000}$ — масштаб совпадает.

Пример 3: Прямая пропорциональность

$4$ одинаковые тетради стоят $120$ рублей. Сколько стоят $7$ таких же тетрадей?

Дано: количество и стоимость прямо пропорциональны. $4$ тетради — $120$ руб., $7$ тетрадей — $x$ руб.

Формула: прямая пропорциональность: $\frac{4}{120} = \frac{7}{x}$ или проще — пропорция $4 : 120 = 7 : x$.

Подстановка: $4 \cdot x = 120 \cdot 7$ (основное свойство). $4x = 840$. $x = 840 : 4 = 210$.

Ответ: $210$ рублей стоят $7$ тетрадей. Проверка: $120 : 4 = 30$ руб. за тетрадь, $30 \cdot 7 = 210$ руб. — верно.

Пример 4: Обратная пропорциональность

Автомобиль проезжает расстояние от города до дачи за $2$ часа со скоростью $60$ км/ч. За какое время он проедет это же расстояние со скоростью $80$ км/ч?

Дано: скорость и время обратно пропорциональны. $v_1 = 60$ км/ч, $t_1 = 2$ ч, $v_2 = 80$ км/ч, найти $t_2$.

Формула: обратная пропорциональность: $v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$ (произведение скорости на время — это расстояние, оно постоянно).

Подстановка: $60 \cdot 2 = 80 \cdot t_2$. $120 = 80 \cdot t_2$. $t_2 = 120 : 80 = 1{,}5$.

Ответ: $1{,}5$ часа = $1$ час $30$ минут. Проверка: расстояние $s = 60 \cdot 2 = 120$ км; при скорости $80$ км/ч время $120 : 80 = 1{,}5$ ч — верно.

Важно!

1. Отношение не имеет единиц измерения, если обе величины измерены в одних и тех же единицах. Отношение $12$ кг к $4$ кг равно $3$ (не $3$ кг).

2. Перед составлением пропорции все величины должны быть выражены в одних и тех же единицах. Нельзя сравнивать метры с сантиметрами: вместо $3$ м и $150$ см нужно записать $300$ см и $150$ см.

3. В пропорции $a : b = c : d$ крайние члены — это $a$ и $d$, средние — $b$ и $c$. Их часто путают. Запомни: крайние — те, что «по краям» записи $a : b = c : d$, средние — те, что «в середине».

4. Основное свойство пропорции работает только для верной пропорции. Прежде чем применять правило крест-накрест, убедись, что пропорция действительно верна (проверь равенство произведений).

5. Прямая и обратная пропорциональность — не одно и то же. В прямой: больше $x$ → больше $y$ (отношение постоянно). В обратной: больше $x$ → меньше $y$ (произведение постоянно). Не перепутай формулы: для прямой $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$, для обратной $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$.

6. При решении пропорции с неизвестным членом не обязательно запоминать отдельные формулы — достаточно один раз записать основное свойство $a \cdot d = b \cdot c$, подставить известные числа и решить получившееся уравнение.

7. Масштаб всегда показывает, во сколько раз уменьшена реальность. Масштаб $1 : 50\,000$ не означает «$1$ см = $50\,000$ см» — это верно. А масштаб $10 : 1$ (встречается на чертежах мелких деталей) означает увеличение в $10$ раз.