Действия с рациональными числами

Определение

Рациональное число — число, которое можно записать в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, $n$ — натуральное. В 6 классе мы работаем с целыми и дробными числами, включая отрицательные.

Сложение рациональных чисел — операция, при которой два числа (слагаемые) объединяются в одно число (сумму). На координатной прямой сложение — это перемещение: прибавить положительное число значит сдвинуться вправо, прибавить отрицательное — влево.

Знак результата при сложении определяется знаком слагаемого с большим модулем. При умножении и делении действует правило знаков:

• Одинаковые знаки — результат положительный.
• Разные знаки — результат отрицательный.

Вычитание рационального числа $b$ из $a$ — то же, что сложение $a$ с числом, противоположным $b$: $a - b = a + (-b)$. Это главный приём, сводящий вычитание к уже знакомому сложению.

Свойства действий (коммутативное, ассоциативное, распределительное) сохраняются и для рациональных чисел. Это позволяет переставлять слагаемые и множители, группировать их, раскрывать скобки — так же, как с положительными числами.

Формула

Сложение с одинаковыми знаками:

$$(-a) + (-b) = -(a + b)$$

Складываем модули, ставим общий знак минус.

Сложение с разными знаками:

• Если $a > b$: $a + (-b) = a - b$ (знак плюс, так как $a$ «перевешивает»).
• Если $b > a$: $a + (-b) = -(b - a)$ (знак минус, так как $-b$ «перевешивает»).

Вычитание как сложение с противоположным:

$$a - b = a + (-b)$$

Правило знаков для умножения и деления:

$$(+) \cdot (+) = +,\qquad (-) \cdot (-) = +,\qquad (+) \cdot (-) = -,\qquad (-) \cdot (+) = -$$

Для деления правило знаков — такое же, как для умножения. Модули при этом делятся обычным образом.

Распределительное свойство:

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Работает и для $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$, в том числе с отрицательным $a$.

Обозначения

Запись	Название	Значение
$a + b$	Сумма	Результат сложения $a$ и $b$ (с учётом знаков)
$a - b$	Разность	$a + (-b)$ — сложение уменьшаемого с противоположным к вычитаемому
$a \cdot b$ или $ab$	Произведение	Результат умножения $a$ на $b$
$a : b$ или $\frac{a}{b}$	Частное	Результат деления $a$ на $b$ ($b \neq 0$)
$-a$	Противоположное к $a$	Число, которое в сумме с $a$ даёт $0$
$	a	$

Пример 1: Сложение чисел с разными знаками

Вычислить $(-8) + 3$ и $8 + (-3)$. Объяснить результат на координатной прямой.

Дано: два случая — $a = -8$, $b = 3$ и $a = 8$, $b = -3$.

Формула: $a + b = \text{знак}(\text{больший модуль})\cdot(|\text{больший}| - |\text{меньший}|)$. Для первого случая: $|-8| = 8$, $|3| = 3$. Больший модуль $8$ (у числа $-8$, знак минус). Для второго случая: $|8| = 8$, $|-3| = 3$. Больший модуль $8$ (у числа $8$, знак плюс).

Подстановка: $(-8) + 3$: $8 > 3$ → вычитаем $8 - 3 = 5$, знак числа с большим модулем ($-8$) — минус. Ответ: $-5$. $8 + (-3)$: $8 > 3$ → вычитаем $8 - 3 = 5$, знак числа с большим модулем ($8$) — плюс. Ответ: $5$.

Ответ: $(-8) + 3 = -5$, $8 + (-3) = 5$. На координатной прямой: от точки $-8$ сдвиг на $3$ вправо приводит к $-5$; от точки $8$ сдвиг на $3$ влево приводит к $5$.

Пример 2: Вычитание отрицательного числа

Вычислить $4 - (-7)$. Объяснить, почему вычитание отрицательного числа увеличивает результат.

Дано: уменьшаемое $4$, вычитаемое $-7$.

Формула: $a - b = a + (-b)$. Здесь $b = -7$, значит $-b = -(-7) = 7$.

Подстановка: $4 - (-7) = 4 + 7 = 11$.

Ответ: $4 - (-7) = 11$. Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению противоположного (положительного) числа. На координатной прямой: из точки $4$ мы не идём влево, а наоборот — шагаем на $7$ вправо! Снять долг — значит стать богаче.

Пример 3: Произведение чисел со знаками

Вычислить $(-6) \times 2$ и $(-6) \times (-2)$.

Дано: множители: $(-6)$ и $2$; затем $(-6)$ и $(-2)$.

Формула: $(-a) \times b = -ab$; $(-a) \times (-b) = +ab$.

Подстановка: $(-6) \times 2$: $|-6| \times |2| = 6 \times 2 = 12$, знаки разные → минус. Ответ: $-12$. $(-6) \times (-2)$: $|-6| \times |-2| = 6 \times 2 = 12$, знаки одинаковые (оба минуса) → плюс. Ответ: $12$.

Ответ: $(-6) \times 2 = -12$; $(-6) \times (-2) = 12$. Правило: минус на минус даёт плюс. Умножение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.

Пример 4: Деление чисел со знаками

Вычислить $(-24) \div 6$ и $(-24) \div (-6)$.

Дано: делимое $-24$, делители $6$ и $-6$.

Формула: правило знаков для деления такое же, как для умножения: $(-a) : b = -(a : b)$; $(-a) : (-b) = +(a : b)$.

Подстановка: $(-24) \div 6$: $24 \div 6 = 4$, знаки разные → минус. Ответ: $-4$. $(-24) \div (-6)$: $24 \div 6 = 4$, знаки одинаковые → плюс. Ответ: $4$.

Ответ: $(-24) \div 6 = -4$; $(-24) \div (-6) = 4$. Минус, делённый на минус, даёт плюс — как и при умножении.

Пример 5: Действия в несколько шагов

Вычислить $(-3) \times 4 + 10 - (-5)$. Расставить порядок действий.

Дано: выражение $(-3) \times 4 + 10 - (-5)$.

Формула: порядок действий: сначала умножение, затем сложение и вычитание слева направо. Вычитание отрицательного: $-(-5) = +5$.

Подстановка:

1. $(-3) \times 4 = -12$ (минус × плюс = минус).
2. $-12 + 10 = -2$ (из $12$ вычитаем $10$, знак минус — модуль $12$ больше).
3. $-2 - (-5) = -2 + 5 = 3$ (вычитание отрицательного — прибавляем $5$, $5 - 2 = 3$, знак плюс — модуль $5$ больше).

Ответ: $(-3) \times 4 + 10 - (-5) = 3$.

Важно!

1. Вычитание — всегда сложение с противоположным: $a - b = a + (-b)$. Не пытайся вычитать «в уме», всегда заменяй вычитание на прибавление противоположного числа — это исключает ошибки со знаками.

2. При сложении с разными знаками определяй, кто «перевешивает»: сравни модули. Знак результата — знак числа с большим модулем. Вычитаешь из большего модуля меньший. Пример: $(-12) + 5 = -(12 - 5) = -7$, потому что $12 > 5$ и первое число отрицательное.

3. «Минус на минус — плюс» работает и для деления, и для умножения: $(-a) \cdot (-b) = +ab$, $(-a) : (-b) = +a{:}b$. Это не магия, а свойство, которое делает все действия согласованными: если температура падала на $2$ градуса в час, то $(-3)$ часа назад она была на $(-3) \times (-2) = 6$ градусов выше.

4. Не теряй минус при раскрытии скобок: $-(a + b) = -a - b$, так как $-(a + b) = -1 \cdot (a + b) = (-1) \cdot a + (-1) \cdot b = -a + (-b) = -a - b$. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри.

5. Порядок действий — прежний: скобки → умножение/деление → сложение/вычитание (слева направо). Отрицательные числа не меняют приоритет операций.