Равноускоренное движение. Ускорение

Определение. Ускорение

Ускорение $a$ — физическая векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло.

$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v - v_0}{t}$

Единица ускорения в СИ: метр на секунду в квадрате (м/с²).

Ускорение показывает, на сколько метров в секунду меняется скорость тела за каждую секунду движения.

Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением ($a = \text{const}$). Если скорость уменьшается — движение равнозамедленное, ускорение направлено против скорости.

Формулы равноускоренного движения

Скорость в любой момент времени

$v = v_0 + at$

Перемещение (путь)

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Если начальная скорость $v_0 = 0$:

$s = \frac{at^2}{2}$

Связь скорости, ускорения и пути (без времени)

$v^2 = v_0^2 + 2as$

Вывод формул

Формула перемещения выводится через среднюю скорость. При равноускоренном движении скорость меняется линейно, поэтому средняя скорость: $v_{\text{ср}} = \frac{v_0 + v}{2}$.

Тогда перемещение: $s = v_{\text{ср}} \cdot t = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$.

Подставляем $v = v_0 + at$: $s = \frac{v_0 + v_0 + at}{2} \cdot t = \frac{2v_0 + at}{2} \cdot t = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Формула $v^2 = v_0^2 + 2as$ получается исключением $t$. Из $v = v_0 + at$ выражаем $t = \frac{v - v_0}{a}$ и подставляем в $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$:

$s = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac{a}{2} \cdot \frac{(v - v_0)^2}{a^2} = \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a}$.

Умножаем обе части на $2a$: $2as = 2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2 = 2v_0v - 2v_0^2 + v^2 - 2v_0v + v_0^2 = v^2 - v_0^2$. Отсюда $v^2 = v_0^2 + 2as$.

Обозначения

Символ	Название	Единица СИ
$a$	Ускорение	м/с²
$v$	Конечная скорость	м/с
$v_0$	Начальная скорость	м/с
$t$	Время	с
$s$	Перемещение (путь)	м
$\Delta v$	Изменение скорости	м/с

Пример 1. Разгон автомобиля

Автомобиль разгоняется с места до скорости 72 км/ч за 10 секунд. Найти ускорение.

Дано: $v_0 = 0$, $v = 72\ \text{км/ч} = 20\ \text{м/с}$, $t = 10\ \text{с}$.

Формула: $a = \dfrac{v - v_0}{t}$

Подстановка: $a = \dfrac{20 - 0}{10} = 2\ \text{м/с}^2$

Ответ: $a = 2\ \text{м/с}^2$.

Пример 2. Свободное падение

Тело падает с высоты 45 м без начальной скорости. Найти время падения и скорость в момент удара о землю. Ускорение свободного падения $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Дано: $v_0 = 0$, $s = 45\ \text{м}$, $g = 10\ \text{м/с}^2$.

Формула: $s = \dfrac{gt^2}{2}$ → $t = \sqrt{\dfrac{2s}{g}}$; $v = gt$

Подстановка: $t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 45}{10}} = \sqrt{9} = 3\ \text{с}$; $v = 10 \cdot 3 = 30\ \text{м/с}$

Ответ: $t = 3\ \text{с}$, $v = 30\ \text{м/с}$.

Пример 3. Торможение

Автомобиль движется со скоростью 54 км/ч и тормозит с ускорением $a = -3\ \text{м/с}^2$. Найти тормозной путь.

Дано: $v_0 = 54\ \text{км/ч} = 15\ \text{м/с}$, $v = 0$, $a = -3\ \text{м/с}^2$.

Формула: $v^2 = v_0^2 + 2as$ → $s = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Подстановка: $s = \dfrac{0 - 15^2}{2 \cdot (-3)} = \dfrac{-225}{-6} = 37{,}5\ \text{м}$

Ответ: $s = 37{,}5\ \text{м}$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать знак ускорения. При разгоне $a > 0$, при торможении $a < 0$. Ускорение — вектор: направление имеет значение.

⚠️ Перевод единиц: скорость в км/ч делится на 3,6, чтобы получить м/с. $72\ \text{км/ч} = 72 / 3{,}6 = 20\ \text{м/с}$.