Всемирное тяготение. Движение по окружности

Определение. Закон всемирного тяготения

Все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

$F = G\frac{Mm}{r^2}$

Гравитационная постоянная: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$.

Сила тяготения направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел.

Ускорение свободного падения

Из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:

$g = G\frac{M}{r^2}$

На поверхности Земли: $M_{\text{З}} \approx 6 \times 10^{24}\ \text{кг}$, $R_{\text{З}} \approx 6{,}4 \times 10^6\ \text{м}$ → $g \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2$.

На других планетах $g$ другое: на Луне $g \approx 1{,}6\ \text{м/с}^2$, на Марсе $g \approx 3{,}7\ \text{м/с}^2$.

Движение по окружности

При равномерном движении по окружности скорость тела постоянна по модулю, но меняется по направлению. Это означает наличие центростремительного ускорения:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Центростремительная сила, создающая это ускорение:

$F_c = m\frac{v^2}{r}$

Период обращения — время одного полного оборота:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Обозначения

Символ	Название	Единица СИ
$F$	Сила тяготения	Н
$G$	Гравитационная постоянная	Н·м²/кг²
$M, m$	Массы тел	кг
$r$	Расстояние между центрами / радиус	м
$g$	Ускорение свободного падения	м/с²
$a_c$	Центростремительное ускорение	м/с²
$v$	Линейная скорость	м/с
$T$	Период обращения	с

Пример 1. Сила притяжения Земли и Луны

Масса Земли $M = 6 \times 10^{24}$ кг, масса Луны $m = 7{,}3 \times 10^{22}$ кг, расстояние $r = 3{,}84 \times 10^8$ м. Найти силу притяжения.

Дано: $M = 6 \times 10^{24}$ кг, $m = 7{,}3 \times 10^{22}$ кг, $r = 3{,}84 \times 10^8$ м, $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг².

Формула: $F = G\dfrac{Mm}{r^2}$

Подстановка: $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \dfrac{6 \times 10^{24} \cdot 7{,}3 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2} \approx 2 \times 10^{20}$ Н

Ответ: $F \approx 2 \times 10^{20}$ Н.

Пример 2. Спутник на орбите

Спутник движется по круговой орбите на высоте 200 км над Землёй. Найти его скорость. $R_{\text{З}} = 6400$ км, $M_{\text{З}} = 6 \times 10^{24}$ кг.

Дано: $h = 200$ км $= 2 \times 10^5$ м, $R = 6{,}4 \times 10^6$ м, $M = 6 \times 10^{24}$ кг.

Формула: $F_{\text{тяг}} = F_c$ → $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$ → $v = \sqrt{G\dfrac{M}{r}}$, где $r = R + h$

Подстановка: $r = 6{,}4 \times 10^6 + 2 \times 10^5 = 6{,}6 \times 10^6$ м; $v = \sqrt{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \dfrac{6 \times 10^{24}}{6{,}6 \times 10^6}} \approx 7800$ м/с

Ответ: $v \approx 7{,}8$ км/с (первая космическая скорость).

Пример 3. Центростремительная сила

Тело массой 0,5 кг вращается на нити длиной 1 м со скоростью 4 м/с. Найти центростремительную силу.

Дано: $m = 0{,}5$ кг, $r = 1$ м, $v = 4$ м/с.

Формула: $F_c = m\dfrac{v^2}{r}$

Подстановка: $F_c = 0{,}5 \cdot \dfrac{4^2}{1} = 0{,}5 \cdot 16 = 8$ Н

Ответ: $F_c = 8$ Н.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путать центростремительную силу с центробежной. Центростремительная сила реальна и направлена к центру. «Центробежная сила» — фиктивная сила инерции, проявляющаяся в неинерциальных системах отсчёта.

⚠️ Расстояние в законе тяготения — между центрами тел, а не между поверхностями. Для тела на поверхности Земли $r = R_{\text{З}}$, а не 0.