Механическая энергия. Закон сохранения энергии

Определение. Механическая энергия

Механическая энергия — физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу. Различают два вида: кинетическую (энергия движения) и потенциальную (энергия взаимодействия).

Формулы

Кинетическая энергия

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Энергия, которой обладает тело благодаря своему движению. Зависит от массы и квадрата скорости — при удвоении скорости энергия растёт в 4 раза.

Потенциальная энергия в поле тяжести

$E_p = mgh$

Энергия, которой обладает тело благодаря высоте над поверхностью Земли. Зависит от массы, ускорения свободного падения и высоты.

Полная механическая энергия

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Закон сохранения механической энергии

В замкнутой системе, где действуют только консервативные силы (силы тяжести, упругости), полная механическая энергия сохраняется:

$E = \text{const}$

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

Теорема о кинетической энергии

Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии:

$A = \Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$

Вывод формулы кинетической энергии

Рассмотрим тело массой $m$, которое разгоняется силой $F$ на пути $s$ из состояния покоя до скорости $v$. Работа силы: $A = F \cdot s$. По второму закону Ньютона $F = ma$, а путь при равноускоренном движении $s = \frac{v^2}{2a}$ (при $v_0 = 0$). Подставляем:

$A = ma \cdot \frac{v^2}{2a} = \frac{mv^2}{2}$

Эта работа и есть кинетическая энергия тела.

Обозначения

Символ	Название	Единица СИ
$E_k$	Кинетическая энергия	Дж
$E_p$	Потенциальная энергия	Дж
$E$	Полная механическая энергия	Дж
$m$	Масса	кг
$v$	Скорость	м/с
$g$	Ускорение свободного падения	м/с²
$h$	Высота	м
$A$	Работа	Дж

Пример 1. Падение камня

Камень массой 2 кг падает с высоты 10 м без начальной скорости. Найти его кинетическую, потенциальную и полную механическую энергию на высоте 4 м. $g = 10$ м/с².

Дано: $m = 2$ кг, $h_1 = 10$ м, $h_2 = 4$ м, $v_0 = 0$, $g = 10$ м/с².

Формула: $E_{p1} = mgh_1$, $E = E_{p1}$ (на старте $v_0 = 0$), $E_{p2} = mgh_2$, $E_{k2} = E - E_{p2}$

Подстановка: $E_{p1} = 2 \cdot 10 \cdot 10 = 200$ Дж; $E = 200$ Дж; $E_{p2} = 2 \cdot 10 \cdot 4 = 80$ Дж; $E_{k2} = 200 - 80 = 120$ Дж

Ответ: $E_{k2} = 120$ Дж, $E_{p2} = 80$ Дж, $E = 200$ Дж.

Пример 2. Торможение автомобиля

Автомобиль массой 1500 кг движется со скоростью 72 км/ч. Водитель нажимает на тормоз, и автомобиль останавливается через 40 м. Найти силу торможения.

Дано: $m = 1500$ кг, $v_0 = 72$ км/ч $= 20$ м/с, $v = 0$, $s = 40$ м.

Формула: $A = \Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$; $A = F \cdot s$ → $F = \frac{A}{s}$

Подстановка: $\Delta E_k = 0 - \frac{1500 \cdot 20^2}{2} = -\frac{1500 \cdot 400}{2} = -300\,000$ Дж; $F = \frac{300\,000}{40} = 7500$ Н

Ответ: $F = 7500$ Н (сила торможения).

Пример 3. Маятник — превращение энергий

Маятник массой 0,5 кг отклонён на высоту 0,2 м от положения равновесия. Найти его скорость в нижней точке.

Дано: $m = 0{,}5$ кг, $h = 0{,}2$ м, $g = 10$ м/с².

Формула: $mgh = \frac{mv^2}{2}$ → $v = \sqrt{2gh}$

Подстановка: $v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}2} = \sqrt{4} = 2$ м/с

Ответ: $v = 2$ м/с.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путают кинетическую и потенциальную энергию. Кинетическая — у движущегося тела ($v \neq 0$), потенциальная — у тела на высоте ($h \neq 0$) или деформированной пружины.

⚠️ Закон сохранения работает только в замкнутой системе. Если есть трение — механическая энергия переходит во внутреннюю (тепло), и полная механическая энергия не сохраняется.

⚠️ Единицы: все величины в СИ. Масса в кг, скорость в м/с, высота в м. Энергия в джоулях (Дж).