Механические колебания

Определение. Колебательное движение

Механические колебания — движения, которые точно или приблизительно повторяются через равные промежутки времени.

Свободные колебания — колебания, происходящие под действием внутренних сил системы после выведения её из равновесия (например, маятник после отклонения).

Вынужденные колебания — колебания под действием внешней периодической силы.

Характеристики колебаний

Амплитуда $A$ — максимальное отклонение от положения равновесия (м).

Период $T$ — время одного полного колебания (с).

$T = \frac{t}{N}$

Частота $\nu$ (ню) — число колебаний за единицу времени (Гц).

$\nu = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$

Формулы

Математический маятник

Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Период не зависит от массы груза и амплитуды (при малых углах) — открытие Галилея.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — груз на пружине.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Период зависит от массы груза и жёсткости пружины.

Превращение энергии при колебаниях

При колебаниях маятника происходит непрерывный переход энергии:

• В крайних точках: $E = E_p$ (максимум), $E_k = 0$.
• В положении равновесия: $E = E_k$ (максимум), $E_p = 0$.
• В промежуточных точках: $E = E_k + E_p = \text{const}$ (без трения).

Затухающие колебания

Из-за трения и сопротивления среды амплитуда постепенно уменьшается — колебания затухают. Механическая энергия переходит во внутреннюю (тепло).

Обозначения

Символ	Название	Единица СИ
$A$	Амплитуда	м
$T$	Период	с
$\nu$	Частота	Гц
$l$	Длина нити	м
$m$	Масса груза	кг
$k$	Жёсткость пружины	Н/м
$g$	Ускорение свободного падения	м/с²

Пример 1. Период математического маятника

Маятник длиной 2,5 м совершает колебания. Найти период и частоту. $g = 10$ м/с².

Дано: $l = 2{,}5$ м, $g = 10$ м/с².

Формула: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$, $\nu = \dfrac{1}{T}$

Подстановка: $T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\dfrac{2{,}5}{10}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}25} = 6{,}28 \cdot 0{,}5 = 3{,}14$ с; $\nu = \dfrac{1}{3{,}14} \approx 0{,}32$ Гц

Ответ: $T \approx 3{,}14$ с, $\nu \approx 0{,}32$ Гц.

Пример 2. Пружинный маятник

Груз массой 200 г колеблется на пружине жёсткостью 80 Н/м. Найти период колебаний.

Дано: $m = 200$ г $= 0{,}2$ кг, $k = 80$ Н/м.

Формула: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Подстановка: $T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}2}{80}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}0025} = 6{,}28 \cdot 0{,}05 = 0{,}314$ с

Ответ: $T \approx 0{,}31$ с.

Пример 3. Число колебаний

Маятник совершает 40 колебаний за 1 минуту. Найти период и частоту.

Дано: $N = 40$, $t = 1$ мин $= 60$ с.

Формула: $T = \dfrac{t}{N}$, $\nu = \dfrac{N}{t}$

Подстановка: $T = \dfrac{60}{40} = 1{,}5$ с; $\nu = \dfrac{40}{60} \approx 0{,}67$ Гц

Ответ: $T = 1{,}5$ с, $\nu \approx 0{,}67$ Гц.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка: путают период и частоту. Период — время одного колебания (с), частота — сколько колебаний в секунду (Гц). Они обратны: $T = 1/\nu$.

⚠️ Период математического маятника не зависит от массы груза и амплитуды (при малых углах). Это открытие Галилея, который наблюдал за люстрой в Пизанском соборе.

⚠️ Единицы: длина нити в метрах, масса в килограммах, жёсткость в Н/м. Не забудь перевести граммы в кг!