Случайная изменчивость

Определение. Случайная изменчивость

Случайная изменчивость — явление, при котором результаты повторных измерений или наблюдений одной и той же величины отличаются друг от друга. Причины этих отличий — множество мелких, трудно учитываемых случайных факторов.

Примеры случайной изменчивости в жизни:

• время пробежки одной и той же дистанции в разные дни;
• число очков, выпадающих при броске игрального кубика;
• рост всходов одного и того же сорта растений;
• число посетителей магазина в разные дни.

Относительная частота

Чтобы описать случайную изменчивость количественно, используют относительную частоту события — отношение числа наблюдений, в которых событие произошло, к общему числу наблюдений:

$W(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ — число наблюдений, в которых событие $A$ произошло, $n$ — общее число наблюдений.

Устойчивость частот

Главное свойство случайной изменчивости — устойчивость частот: при увеличении числа наблюдений относительная частота события перестаёт «прыгать» и приближается к некоторому постоянному числу. Отдельные результаты случайны, но в массе наблюдений проявляется закономерность.

Пример 1. Время пробежки

Ученик три раза пробежал 100 метров: 14,2 с, 14,6 с, 14,1 с.

Дано: результаты: 14,2 с; 14,6 с; 14,1 с.

Анализ: результаты отличаются друг от друга, хотя дистанция одна и та же. Разброс вызван случайными причинами: усталость, ветер, самочувствие.

Ответ: это пример случайной изменчивости — время пробежки меняется от попытки к попытке.

Пример 2. Устойчивость частоты орла

Монету подбросили 10 раз — орёл выпал 7 раз. Затем монету подбросили ещё 990 раз, всего 1000 раз, и орёл выпал 498 раз.

Дано: при 10 бросках орёл — 7 раз; при 1000 бросках орёл — 498 раз.

Формула: $W(A) = \frac{m}{n}$.

Подстановка: при 10 бросках $W = \frac{7}{10} = 0{,}7$. При 1000 бросках $W = \frac{498}{1000} = 0{,}498$.

Ответ: при малом числе бросков частота «прыгнула» (0,7), а при большом приблизилась к 0,5 — проявилась устойчивость частот.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — думать, что случайная изменчивость означает «никакой закономерности нет». На самом деле закономерность есть, но она проявляется только в массе наблюдений. Один бросок монеты непредсказуем, а вот 1000 бросков дадут частоту, близкую к 0,5.