Условная вероятность

Определение. Условная вероятность

Условной вероятностью события $A$ при условии, что произошло событие $B$ (обозначается $P(A|B)$), называется вероятность события $A$, вычисленная в предположении, что событие $B$ уже произошло.

Если $P(B) \neq 0$, то условная вероятность вычисляется по формуле:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Правило умножения вероятностей

Из формулы условной вероятности получаем правило умножения — вероятность того, что произойдут оба события $A$ и $B$:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$

Это правило особенно полезно для последовательных испытаний, когда результат первого шага влияет на вероятность второго (например, вытягивание карт без возвращения).

Обозначения

Символ	Название	Описание
$P(A	B)$	Условная вероятность
$P(A \cap B)$	Пересечение	Оба события произошли
$P(B)$	Вероятность $B$	Условие

Пример 1. Условная вероятность при вытягивании карт

Из колоды в 52 карты (4 туза) вытягивают одну карту, не возвращая её. Найдите вероятность того, что вторая вытянутая карта — туз, при условии, что первая была тузом.

Дано: в колоде 52 карты, 4 туза. Первая карта — туз, её не возвращают.

Формула: после вытягивания одного туза осталось 51 карта и 3 туза.

Подстановка: $P(\text{2-й туз} \mid \text{1-й туз}) = \dfrac{3}{51}$.

Ответ: $P = \dfrac{3}{51} = \dfrac{1}{17}$.

Пример 2. Правило умножения

Найдите вероятность того, что две карты, вытянутые подряд без возвращения, обе окажутся тузами.

Дано: 52 карты, 4 туза, вытягивают две без возвращения.

Формула: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

Подстановка: $P(\text{1-й туз}) = \frac{4}{52}$, $P(\text{2-й туз} \mid \text{1-й туз}) = \frac{3}{51}$. $P = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$.

Ответ: $P = \dfrac{1}{221} \approx 0{,}0045$.

Пример 3. Условная вероятность по формуле

Известно, что $P(A \cap B) = 0{,}2$ и $P(B) = 0{,}5$. Найдите $P(A|B)$.

Дано: $P(A \cap B) = 0{,}2$, $P(B) = 0{,}5$.

Формула: $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Подстановка: $P(A|B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$.

Ответ: $P(A|B) = 0{,}4$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать $P(A|B)$ и $P(B|A)$. Это разные величины! $P(A|B)$ — вероятность $A$ при условии $B$, а $P(B|A)$ — наоборот. Например, вероятность «второй туз, если первый туз» не равна вероятности «первый туз, если второй туз». Внимательно читай, что является условием.