Дисперсия и стандартное отклонение

Определение. Среднее арифметическое

Напомним: средним арифметическим ряда $x_1, x_2, \dots, x_n$ называется сумма всех значений, делённая на их количество:

$\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Среднее показывает «центр» данных, но не говорит, насколько значения разбросаны вокруг него.

Определение. Дисперсия

Дисперсией ряда данных $x_1, x_2, \dots, x_n$ называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего $\bar x$:

$D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2$

Отклонения возводятся в квадрат, чтобы положительные и отрицательные отклонения не «гасили» друг друга. Дисперсия всегда неотрицательна.

Определение. Стандартное отклонение

Стандартным отклонением (средним квадратичным отклонением) называется квадратный корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{D}$

В отличие от дисперсии, стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сами данные, поэтому его удобнее интерпретировать.

Диаграмма рассеивания

Чтобы увидеть разброс данных, используют диаграмму рассеивания (scatter plot): каждое значение изображают точкой на числовой оси или в координатной плоскости. Чем сильнее точки «разбросаны» вокруг среднего, тем больше дисперсия и стандартное отклонение.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$\bar x$	Среднее арифметическое	Центр данных
$x_i - \bar x$	Отклонение	Насколько значение отличается от среднего
$D$	Дисперсия	Средний квадрат отклонений
$\sigma$	Стандартное отклонение	Корень из дисперсии

Пример 1. Дисперсия ряда

Найдите дисперсию ряда 2, 4, 6.

Дано: ряд 2, 4, 6, $n = 3$.

Формула: сначала среднее $\bar x = \frac{1}{n}\sum x_i$, затем $D = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar x)^2$.

Подстановка: $\bar x = \frac{2+4+6}{3} = 4$. Отклонения: $2-4=-2$, $4-4=0$, $6-4=2$. Квадраты: $4, 0, 4$. $D = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $D = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$.

Пример 2. Стандартное отклонение

Найдите стандартное отклонение ряда 1, 3, 5, 7.

Дано: ряд 1, 3, 5, 7, $n = 4$.

Формула: $\bar x = \frac{1}{n}\sum x_i$, $D = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar x)^2$, $\sigma = \sqrt{D}$.

Подстановка: $\bar x = \frac{1+3+5+7}{4} = 4$. Отклонения: $-3, -1, 1, 3$. Квадраты: $9, 1, 1, 9$. $D = \frac{9+1+1+9}{4} = \frac{20}{4} = 5$. $\sigma = \sqrt{5}$.

Ответ: $D = 5$, $\sigma = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.

Пример 3. Сравнение разброса

У двух рядов одинаковое среднее 5: ряд $X = \{5, 5, 5\}$ и ряд $Y = \{1, 5, 9\}$. Сравните их дисперсии.

Дано: $X = \{5, 5, 5\}$, $Y = \{1, 5, 9\}$, у обоих $\bar x = 5$.

Формула: $D = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar x)^2$.

Подстановка: для $X$: все отклонения 0, $D_X = 0$. Для $Y$: отклонения $-4, 0, 4$, квадраты $16, 0, 16$, $D_Y = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$.

Ответ: $D_X = 0 < D_Y \approx 10{,}67$. Ряд $Y$ разбросан сильнее.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — забывать возводить отклонения в квадрат или брать среднее от отклонений без квадрата. Если не возвести в квадрат, положительные и отрицательные отклонения сократятся и дисперсия окажется нулевой. Всегда считай $(x_i - \bar x)^2$.