Объединение и пересечение событий

Определение. Объединение событий

Объединением событий $A$ и $B$ (обозначается $A \cup B$) называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий $A$ или $B$.

$A \cup B = \{\text{исходы, принадлежащие } A \text{ или } B \text{ (или обоим)}\}$

Слово «или» здесь понимается в неисключающем смысле: оба события могут произойти одновременно.

Определение. Пересечение событий

Пересечением событий $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$) называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда произошли оба события $A$ и $B$ одновременно.

$A \cap B = \{\text{исходы, принадлежащие и } A \text{, и } B\}$

Определение. Несовместные события

События $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном испытании, то есть $A \cap B = \varnothing$.

Правило сложения вероятностей

Для любых событий $A$ и $B$ вероятность объединения вычисляется по формуле:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Если события $A$ и $B$ несовместны ($A \cap B = \varnothing$), то $P(A \cap B) = 0$ и формула упрощается:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$A \cup B$	Объединение	Хотя бы одно из событий
$A \cap B$	Пересечение	Оба события одновременно
$\varnothing$	Пустое множество	Невозможное событие
$P(A \cup B)$	Вероятность объединения	Вероятность «A или B»

Пример 1. Объединение и пересечение на кубике

Бросают кубик. $A$ = «выпало чётное», $B$ = «выпало больше 3». Найдите $A \cup B$ и $A \cap B$.

Дано: $A$ = {2, 4, 6}, $B$ = {4, 5, 6}.

Формула: $A \cup B$ — исходы из $A$ или $B$; $A \cap B$ — общие исходы.

Подстановка: $A \cup B$ = {2, 4, 5, 6}, $A \cap B$ = {4, 6}.

Ответ: $A \cup B$ = {2, 4, 5, 6}, $A \cap B$ = {4, 6}.

Пример 2. Правило сложения

$P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$, $P(A \cap B) = 0{,}1$. Найдите $P(A \cup B)$.

Дано: $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$, $P(A \cap B) = 0{,}1$.

Формула: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Подстановка: $P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}7$.

Ответ: $P(A \cup B) = 0{,}7$.

Пример 3. Несовместные события

Вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается футболом, равна 0,4, а баскетболом — 0,3. Известно, что никто не занимается обоими видами спорта. Найдите вероятность того, что ученик занимается хотя бы одним из этих видов спорта.

Дано: $P(A) = 0{,}4$ (футбол), $P(B) = 0{,}3$ (баскетбол), $A \cap B = \varnothing$.

Формула: для несовместных событий $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Подстановка: $P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7$.

Ответ: $P(A \cup B) = 0{,}7$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — при вычислении $P(A \cup B)$ забывать вычитать $P(A \cap B)$, когда события совместны. Если просто сложить $P(A) + P(B)$, общая часть (пересечение) будет посчитана дважды. Формула $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ верна ТОЛЬКО для несовместных событий.