Независимые события

Определение. Независимые события

События $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Для независимых событий выполняется равенство:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Эквивалентные условия независимости:

$P(A|B) = P(A), \qquad P(B|A) = P(B)$

То есть знание того, что произошло событие $B$, не меняет вероятность события $A$.

Независимые и несовместные события

Важно не путать эти понятия:

• Несовместные события не могут произойти одновременно: $A \cap B = \varnothing$.
• Независимые события могут произойти вместе, но их вероятности не влияют друг на друга.

Если $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$, то несовместные события НЕ являются независимыми: для них $P(A \cap B) = 0$, а $P(A) \cdot P(B) > 0$, значит, равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ не выполняется.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$A \cap B$	Пересечение	Оба события произошли
$P(A) \cdot P(B)$	Произведение вероятностей	Критерий независимости
$P(A	B)$	Условная вероятность

Пример 1. Два броска монеты

Подбрасывают монету дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орёл.

Дано: два независимых броска монеты, $P(\text{орёл}) = \frac{1}{2}$.

Формула: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Подстановка: $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $P = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Пример 2. Монета и кубик

Подбрасывают монету и бросают кубик. Найдите вероятность того, что выпадет орёл и шестёрка.

Дано: $P(\text{орёл}) = \frac{1}{2}$, $P(6) = \frac{1}{6}$, события независимы.

Формула: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Подстановка: $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $P = \dfrac{1}{12}$.

Пример 3. Проверка независимости

Бросают два кубика. Событие $A$ = «на первом кубике выпало 3», событие $B$ = «сумма очков равна 7». Являются ли события независимыми?

Дано: два кубика, всего 36 исходов. $A$ = «первый = 3», $B$ = «сумма = 7».

Формула: проверить равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Подстановка: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ (пары 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). $A \cap B$: первый = 3, сумма = 7, значит, второй = 4 — один исход. $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$. Проверка: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $P(A \cap B) = \frac{1}{36} = P(A) \cdot P(B)$, события независимы.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — считать несовместные события независимыми. Несовместные события не могут произойти вместе ($P(A \cap B) = 0$), а независимые — могут. Если $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$, несовместные события всегда зависимы. Например, «выпало 2» и «выпало 5» при одном броске кубика несовместны и зависимы.