Противоположные события

Определение. Противоположное событие

Событие $\bar A$ называется противоположным событию $A$, если оно происходит тогда и только тогда, когда событие $A$ не происходит.

$\bar A = \{\text{элементарные события, не входящие в } A\}$

События $A$ и $\bar A$ обладают двумя важными свойствами:

• они несовместны: $A \cap \bar A = \varnothing$ (не могут произойти одновременно);
• их объединение — всё пространство элементарных событий: $A \cup \bar A = \Omega$.

Свойство вероятностей противоположных событий

Так как события $A$ и $\bar A$ вместе покрывают все исходы и не пересекаются, сумма их вероятностей равна 1:

$P(A) + P(\bar A) = 1$

Отсюда получаем удобную формулу:

$P(\bar A) = 1 - P(A)$

Диаграмма Эйлера

На диаграмме Эйлера (Венна) событие $A$ изображают кругом внутри прямоугольника $\Omega$. Противоположное событие $\bar A$ — это вся область прямоугольника вне круга $A$.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$A$	Событие	Набор элементарных событий
$\bar A$	Противоположное событие	«Не A» — всё, кроме $A$
$\Omega$	Пространство событий	Все исходы
$P(A)$	Вероятность события	Число от 0 до 1

Пример 1. Противоположное событие на кубике

Бросают кубик. Событие $A$ = «выпало чётное число». Опишите $\bar A$ и найдите его вероятность.

Дано: $A$ = «выпало чётное» = {2, 4, 6}.

Формула: $\bar A$ — все исходы, не входящие в $A$; $P(\bar A) = 1 - P(A)$.

Подстановка: $\bar A$ = {1, 3, 5} — «выпало нечётное». $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. $P(\bar A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\bar A$ = «выпало нечётное», $P(\bar A) = \dfrac{1}{2}$.

Пример 2. Вероятность «не произойдёт»

Вероятность того, что в течение дня пойдёт дождь, равна 0,3. Найдите вероятность того, что дождя не будет.

Дано: $A$ = «дождь пойдёт», $P(A) = 0{,}3$.

Формула: $P(\bar A) = 1 - P(A)$.

Подстановка: $P(\bar A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

Ответ: вероятность того, что дождя не будет, равна 0,7.

Пример 3. Применение к сложному событию

Вероятность того, что случайно выбранная деталь бракованная, равна 0,02. Найдите вероятность того, что деталь исправна.

Дано: $A$ = «деталь бракованная», $P(A) = 0{,}02$.

Формула: $P(\bar A) = 1 - P(A)$.

Подстановка: $P(\bar A) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$.

Ответ: вероятность исправной детали равна 0,98.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать противоположное событие с «несовместным». Противоположное событие $\bar A$ — это конкретное событие «не A», и оно единственное. А несовместных событий с $A$ может быть много. Например, для $A$ = «выпало 1» события «выпало 2» и «выпало 3» оба несовместны с $A$, но противоположным является только «выпало не 1» = {2, 3, 4, 5, 6}.