Операции над множествами

Определение. Объединение множеств

Объединением множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \cup B$) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.

$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$

На диаграмме Венна объединение — это вся область, покрывающая оба круга $A$ и $B$.

Определение. Пересечение множеств

Пересечением множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$

На диаграмме Венна пересечение — это область, где круги $A$ и $B$ накладываются друг на друга.

Определение. Дополнение множества

Пусть $U$ — универсальное множество (множество всех рассматриваемых объектов). Дополнением множества $A$ (обозначается $\bar A$) называется множество всех элементов $U$, не принадлежащих множеству $A$.

$\bar A = \{x \in U \mid x \notin A\}$

Свойства операций над множествами

Для любых множеств $A$, $B$, $C$ выполняются свойства:

Коммутативность: $A \cup B = B \cup A, \qquad A \cap B = B \cap A$

Ассоциативность: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), \qquad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Дистрибутивность: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Включение: если $B \subseteq A$, то $A \cup B = A$ и $A \cap B = B$.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$A \cup B$	Объединение	Элементы из $A$ или $B$
$A \cap B$	Пересечение	Элементы из $A$ и $B$ одновременно
$\bar A$	Дополнение	Элементы $U$, не входящие в $A$
$U$	Универсальное множество	Множество всех объектов

Пример 1. Объединение и пересечение

Даны множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{2, 3, 4\}$. Найдите $A \cup B$ и $A \cap B$.

Дано: $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 3, 4\}$.

Формула: $A \cup B$ — все элементы из $A$ или $B$; $A \cap B$ — общие элементы.

Подстановка: объединяем без повторов: $\{1, 2, 3, 4\}$. Общие элементы: 2 и 3.

Ответ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$, $A \cap B = \{2, 3\}$.

Пример 2. Дополнение множества

Универсальное множество $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, множество $A = \{2, 4, 6\}$. Найдите $\bar A$.

Дано: $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{2, 4, 6\}$.

Формула: $\bar A = \{x \in U \mid x \notin A\}$.

Подстановка: из $U$ убираем элементы $A$: остаются 1, 3, 5.

Ответ: $\bar A = \{1, 3, 5\}$.

Пример 3. Дистрибутивность

Даны $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3\}$, $C = \{3, 4\}$. Проверьте равенство $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Дано: $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3\}$, $C = \{3, 4\}$.

Формула: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

Подстановка: $B \cup C = \{2, 3, 4\}$, $A \cap (B \cup C) = \{2\}$. Справа: $A \cap B = \{2\}$, $A \cap C = \varnothing$, их объединение $= \{2\}$.

Ответ: обе части равны $\{2\}$, равенство верно.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — при объединении записывать общие элементы дважды. В объединении каждый элемент встречается один раз: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$, а не $\{1, 2, 3, 2, 3, 4\}$.