Множество, элемент множества, подмножество

Определение. Множество

Множество — это совокупность объектов, объединённых по какому-либо признаку. Объекты, входящие в множество, называются его элементами.

Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами ($A$, $B$, $C$), а элементы — строчными ($a$, $b$, $c$). Множество записывают в фигурных скобках, перечисляя его элементы:

$A = \{1, 2, 3\}$

Запись $a \in A$ означает «элемент $a$ принадлежит множеству $A$», а запись $a \notin A$ — «элемент $a$ не принадлежит множеству $A$».

Определение. Подмножество

Множество $B$ называется подмножеством множества $A$, если каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$. Записывают:

$B \subseteq A$

Если $B \subseteq A$, но $B \neq A$ (то есть в $A$ есть элементы, которых нет в $B$), то $B$ называют собственным подмножеством и пишут $B \subset A$.

Определение. Пустое множество

Пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают символом $\varnothing$. Пустое множество является подмножеством любого множества: $\varnothing \subseteq A$ для любого $A$.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$A$	Множество	Совокупность элементов
$a \in A$	Принадлежность	Элемент $a$ принадлежит множеству $A$
$a \notin A$	Непринадлежность	Элемент $a$ не принадлежит множеству $A$
$B \subseteq A$	Подмножество	Каждый элемент $B$ принадлежит $A$
$\varnothing$	Пустое множество	Множество без элементов

Пример 1. Принадлежность элемента

Дано множество $A = \{1, 2, 3\}$. Принадлежит ли число 2 множеству $A$? А число 5?

Дано: $A = \{1, 2, 3\}$.

Формула: элемент принадлежит множеству, если он перечислен среди его элементов.

Подстановка: число 2 есть в списке $\{1, 2, 3\}$, числа 5 в списке нет.

Ответ: $2 \in A$, а $5 \notin A$.

Пример 2. Проверка подмножества

Даны множества $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{1, 2\}$. Является ли $B$ подмножеством $A$?

Дано: $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{1, 2\}$.

Формула: $B \subseteq A$, если каждый элемент $B$ принадлежит $A$.

Подстановка: элементы $B$ — это 1 и 2. Оба числа 1 и 2 принадлежат $A = \{1, 2, 3\}$.

Ответ: $B \subseteq A$. При этом $B \neq A$, значит, $B$ — собственное подмножество: $B \subset A$.

Пример 3. Подмножество и пустое множество

Сколько элементов в множестве $C = \{x \mid x$ — двузначное число, меньшее 10$\}$?

Дано: $C$ — множество двузначных чисел, меньших 10.

Формула: двузначное число — от 10 до 99, значит, чисел меньше 10 среди них нет.

Подстановка: ни одно число не подходит, множество не содержит элементов.

Ответ: $C = \varnothing$, в нём 0 элементов.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать символы $\in$ и $\subseteq$. Запись $a \in A$ связывает элемент и множество, а запись $B \subseteq A$ связывает два множества. Нельзя писать $\{1, 2\} \in A$ — это подмножество, а не элемент.