Дерево случайного эксперимента

Определение. Дерево случайного эксперимента

Дерево случайного эксперимента — это наглядный способ представить многошаговый случайный эксперимент. В таком дереве:

• корень — начало эксперимента;
• рёбра — возможные исходы каждого шага, на каждом ребре указана его вероятность;
• вершины — промежуточные состояния;
• листья — конечные исходы.

Каждый путь от корня до листа соответствует одному элементарному событию эксперимента.

Вероятность пути

Вероятность конкретного пути равна произведению вероятностей всех рёбер, образующих этот путь:

$P(\text{путь}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$

где $p_1, p_2, \dots, p_k$ — вероятности рёбер вдоль пути.

Вероятность события равна сумме вероятностей всех путей, ведущих к благоприятным исходам.

Правило умножения для числа исходов

Если на каждом из $k$ шагов есть $m$ равновозможных ветвей, то общее число исходов:

$N = m^k$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$p_i$	Вероятность ребра	Вероятность исхода на шаге
$k$	Число шагов	Количество уровней дерева
$m$	Число ветвей	Вариантов на каждом шаге

Пример 1. Два броска монеты

Постройте дерево эксперимента «два броска монеты» и найдите вероятность исхода ОР.

Дано: два броска монеты, на каждом шаге 2 исхода с вероятностью $\frac{1}{2}$.

Формула: $P(\text{путь}) = p_1 \cdot p_2$.

Подстановка: $P(\text{ОР}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $P(\text{ОР}) = \dfrac{1}{4}$. Всего 4 пути: ОО, ОР, РО, РР.

Пример 2. Три броска монеты

Найдите вероятность того, что при трёх бросках монеты выпадет ровно два орла.

Дано: три броска монеты, вероятность орла $\frac{1}{2}$.

Формула: вероятность пути $= p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$; вероятность события — сумма вероятностей благоприятных путей.

Подстановка: ровно два орла — пути ООР, ОРО, РОО. Вероятность каждого $= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$. Сумма: $3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $P = \dfrac{3}{8}$.

Пример 3. Контроль качества

Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,1. Проверяют две детали независимо. Найдите вероятность того, что обе детали исправны.

Дано: $P(\text{брак}) = 0{,}1$, значит, $P(\text{исправна}) = 0{,}9$. Проверки независимы.

Формула: $P(\text{путь}) = p_1 \cdot p_2$.

Подстановка: $P(\text{обе исправны}) = 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$.

Ответ: $P = 0{,}81$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — складывать вероятности рёбер вместо их перемножения. Вероятность пути (последовательности исходов) находится УМНОЖЕНИЕМ вероятностей рёбер. Сложение применяется только когда нужно объединить несколько разных путей в одно событие (например, «ровно два орла» = путь ООР + путь ОРО + путь РОО).