Правило сложения вероятностей

Общее правило сложения вероятностей: вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность пересечения. Частный случай для несовместных событий. Решение задач ОГЭ.

Правило сложения вероятностей

Определение. Правило сложения вероятностей

Правило сложения вероятностей позволяет найти вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из двух событий (их объединение). В общем случае нужно учесть, что общие исходы считаются дважды — их вычитают.

Формула

Для любых событий AA и BB:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Если AA и BB несовместны (A∩B=∅A \cap B = \varnothing), то формула упрощается:

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Обозначения

СимволНазваниеОписание
P(A∪B)P(A \cup B)Вероятность объединенияВероятность, что произойдёт AA или BB
P(A)P(A)Вероятность события AAЧисленная мера возможности AA
P(B)P(B)Вероятность события BBЧисленная мера возможности BB
P(A∩B)P(A \cap B)Вероятность пересеченияВероятность, что произойдут оба события
∅\varnothingПустое множествоНевозможное событие

Пример 1. Несовместные события

Из урны, в которой 5 белых, 3 чёрных и 2 красных шара, наугад извлекают один шар. Какова вероятность, что он белый или чёрный?

Дано: n=10n = 10. Белых шаров m1=5m_1 = 5, чёрных m2=3m_2 = 3. События «белый» и «чёрный» несовместны — один шар не может быть и тем, и другим сразу.

Формула: P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B), так как P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0.

Подстановка: P(белый∪чёрный)=510+310=810=45P(белый \cup чёрный) = \dfrac{5}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}

Ответ: P=45=0,8P = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.

Пример 2. Совместные события (общий случай)

Из колоды 36 карт наугад вытягивают одну. Событие AA — вытянута карта бубновой масти, событие BB — вытянут туз. Найдите вероятность того, что вытянута бубновая карта или туз.

Дано: В колоде 36 карт. AA = «бубна»: 9 карт, P(A)=936P(A) = \dfrac{9}{36}. BB = «туз»: 4 туза, P(B)=436P(B) = \dfrac{4}{36}. A∩BA \cap B = «бубновый туз»: 1 карта, P(A∩B)=136P(A \cap B) = \dfrac{1}{36}.

Формула: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Подстановка: P(A∪B)=936+436−136=1236=13P(A \cup B) = \dfrac{9}{36} + \dfrac{4}{36} - \dfrac{1}{36} = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}

Ответ: P(A∪B)=13P(A \cup B) = \dfrac{1}{3}.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — складывать вероятности несовместных событий, не проверив, что они действительно несовместны. Если события могут произойти одновременно — нужно вычитать P(A∩B)P(A \cap B), иначе результат будет завышен.

⚠️ Вторая частая ошибка — применять упрощённую формулу P(A)+P(B)P(A) + P(B) к событиям, которые совместны. Всегда проверяйте: есть ли у событий общие исходы?

Примеры вопросов из тренажёра

  1. Q: Из колоды 36 карт вытягивают одну. Событие A = «вытянута карта пиковой масти», событие B = «вытянут валет». Найдите P(A ∪ B).

    A: верный ответ — 1/3

    Объяснение: Пиковых карт 9, $P(A)=9/36$. Валетов 4, $P(B)=4/36$. Пиковый валет один, $P(A \cap B)=1/36$. $P(A \cup B)=9/36+4/36-1/36=12/36=1/3$.

  2. Q: Бросают игральный кубик. A = «выпало число меньше 3», B = «выпало число больше 5». Найдите P(A ∪ B). События A и B несовместны.

    A: верный ответ — 1/3

    Объяснение: $A = {1,2}$, $P(A)=2/6$. $B = {6}$, $P(B)=1/6$. События несовместны (нет общих исходов). $P(A \cup B)=2/6+1/6=3/6=1/3$.

  3. Q: В ящике 10 красных, 8 синих и 7 зелёных карандашей. Найдите вероятность того, что случайно выбранный карандаш окажется красным или синим.

    A: верный ответ — 18/25

    Объяснение: Всего карандашей $10+8+7=25$. Красных 10, синих 8. События несовместны. $P(кр \cup син)=10/25+8/25=18/25=0{,}72$.

  4. Q: Формат ОГЭ: В лотерее 50 билетов, среди которых 5 выигрышных по 100 рублей, 3 выигрышных по 500 рублей и 2 выигрышных по 1000 рублей. Какова вероятность, что случайно выбранный билет окажется выигрышным?

    A: верный ответ — 1/5

    Объяснение: Формат ОГЭ: Всего билетов 50. Выигрышных: $5+3+2=10$. События «выигрыш 100», «выигрыш 500» и «выигрыш 1000» несовместны. $P=10/50=1/5=0{,}2$.

  5. Q: Бросают два кубика. A = «на первом кубике 6», B = «на втором кубике 6». Найдите P(A ∪ B).

    A: верный ответ — 11/36

    Объяснение: $P(A)=1/6$, $P(B)=1/6$. $A$ и $B$ совместны — могут выпасть обе шестёрки. $P(A \cap B)=1/6 \cdot 1/6=1/36$. $P(A \cup B)=1/6+1/6-1/36=6/36+6/36-1/36=11/36$.

Пройти тему «Правило сложения вероятностей» в приложении