Схема Бернулли. Испытания с двумя исходами

Определение. Схема Бернулли

Схемой Бернулли (или испытаниями Бернулли) называется последовательность $n$ независимых испытаний, в каждом из которых возможны ровно два исхода: «успех» с вероятностью $p$ и «неудача» с вероятностью $q = 1-p$. Вероятность успеха $p$ одинакова во всех испытаниях.

Примеры схемы Бернулли:

• подбрасывание монеты $n$ раз (успех — выпадение орла);
• бросание игрального кубика $n$ раз (успех — выпадение шестёрки);
• проверка $n$ деталей на брак (успех — деталь годная).

Формула Бернулли

Вероятность того, что в $n$ испытаниях Бернулли наступит ровно $k$ успехов:

$P_n(k) = C_n^k \, p^k (1-p)^{n-k}$

где $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, $p$ — вероятность успеха в одном испытании.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$n$	Число испытаний	Количество повторений эксперимента
$k$	Число успехов	Сколько раз наступил успех ($0 \leq k \leq n$)
$p$	Вероятность успеха	Вероятность успеха в одном испытании
$q = 1-p$	Вероятность неудачи	Вероятность неудачи в одном испытании
$P_n(k)$	Вероятность $k$ успехов	Вероятность ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях

Пример 1. Симметричная монета

Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза?

Дано: $n = 5$, $k = 3$, $p = 0{,}5$, $q = 0{,}5$.

Формула: $P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3}$

Подстановка: $C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{120}{6 \cdot 2} = 10$. $p^3 = 0{,}5^3 = 0{,}125$. $q^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$. $P_5(3) = 10 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}25 = 10 \cdot 0{,}03125 = 0{,}3125$

Ответ: $P = 0{,}3125$.

Пример 2. Игральный кубик

Игральный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность, что шестёрка выпадет ровно 2 раза?

Дано: $n = 6$, $k = 2$, $p = \dfrac{1}{6}$, $q = \dfrac{5}{6}$.

Формула: $P_6(2) = C_6^2 \cdot p^2 \cdot q^{4}$

Подстановка: $C_6^2 = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} = \dfrac{720}{2 \cdot 24} = 15$. $p^2 = \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{1}{36}$. $q^4 = \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = \dfrac{625}{1296}$. $P_6(2) = 15 \cdot \dfrac{1}{36} \cdot \dfrac{625}{1296} = \dfrac{15 \cdot 625}{36 \cdot 1296} = \dfrac{9375}{46656} = \dfrac{3125}{15552} \approx 0{,}2009$

Ответ: $P = \dfrac{3125}{15552} \approx 0{,}2009$.

Пример 3. Вероятность «хотя бы одного успеха»

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$. Какова вероятность, что за 4 выстрела он попадёт хотя бы один раз?

Дано: $n = 4$, $p = 0{,}7$, $q = 0{,}3$. Нужно $P(k \geq 1)$.

Формула: $P(k \geq 1) = 1 - P_4(0) = 1 - C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^4$

Подстановка: $C_4^0 = 1$. $P_4(0) = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}3^4 = 0{,}0081$. $P(k \geq 1) = 1 - 0{,}0081 = 0{,}9919$

Ответ: $P = 0{,}9919$.

Определение. Серия испытаний до первого успеха

В схеме Бернулли число испытаний $n$ задано заранее, и мы спрашиваем, сколько будет успехов. Но бывает обратная задача: испытания повторяются до первого успеха, и мы спрашиваем, на каком по счёту испытании он наступит. Такую серию называют испытаниями до первого успеха (геометрическим распределением).

Пусть вероятность успеха в каждом испытании равна $p$, а неудачи — $q = 1-p$. Обозначим через $X$ номер испытания, в котором впервые наступил успех. Тогда $X$ принимает значения $1, 2, 3, \dots$

Формула. Вероятность первого успеха на $k$-м испытании

Чтобы успех наступил ровно на $k$-м испытании, первые $k-1$ испытаний должны закончиться неудачей, а $k$-е — успехом:

$P(X = k) = q^{k-1} \cdot p = (1-p)^{k-1} \cdot p$

Здесь $q^{k-1}$ — вероятность того, что первые $k-1$ испытаний дали неудачу, а $p$ — вероятность успеха в $k$-м испытании.

⚠️ Отличие от формулы Бернулли. Формула Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ отвечает на вопрос «сколько будет успехов среди заранее заданных $n$ испытаний» и содержит множитель $C_n^k$ (успехи могут стоять в любых местах). Формула до первого успеха отвечает на вопрос «когда наступит первый успех» — здесь порядок жёстко задан (сначала $k-1$ неудач, потом успех), поэтому множителя $C_n^k$ нет.

Пример 4. Первый успех при бросании кубика

Игральный кубик бросают до первого выпадения шестёрки. Какова вероятность, что шестёрка впервые выпадет на 3-м броске?

Дано: $p = \dfrac{1}{6}$ (вероятность шестёрки), $q = \dfrac{5}{6}$, $k = 3$.

Формула: $P(X = k) = q^{k-1} \cdot p$

Подстановка: $P(X = 3) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{25}{36} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{25}{216} \approx 0{,}1157$

Ответ: $P = \dfrac{25}{216} \approx 0{,}1157$.

Пример 5. Первый успех при стрельбе

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}4$. Он стреляет до первого попадания. Какова вероятность, что ему понадобится ровно 4 выстрела?

Дано: $p = 0{,}4$, $q = 0{,}6$, $k = 4$.

Формула: $P(X = k) = q^{k-1} \cdot p$

Подстановка: $P(X = 4) = 0{,}6^{3} \cdot 0{,}4 = 0{,}216 \cdot 0{,}4 = 0{,}0864$

Ответ: $P = 0{,}0864$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — применять формулу Бернулли, когда испытания не являются независимыми. Например, вытягивание карт из колоды без возвращения — это зависимые испытания, и формула Бернулли неприменима.

⚠️ Вторая частая ошибка — путать «ровно $k$ успехов» и «не более $k$ успехов». Для «не более $k$» нужно суммировать вероятности $P_n(0) + P_n(1) + \dots + P_n(k)$. Для «хотя бы одного» проще найти $1 - P_n(0)$.