Условная вероятность

Определение. Условная вероятность

Условная вероятность $P(A \mid B)$ — это вероятность события $A$, вычисленная в предположении, что событие $B$ уже произошло. Условие $B$ «сужает» пространство исходов: мы рассматриваем только те исходы, при которых $B$ наступило, и среди них ищем долю благоприятных для $A$.

Формула условной вероятности

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Из этой формулы следует важное выражение для вероятности пересечения:

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$P(A \mid B)$	Условная вероятность $A$ при $B$	Вероятность $A$, если $B$ уже произошло
$P(A \cap B)$	Вероятность пересечения	Вероятность, что произойдут оба события
$P(B)$	Вероятность события $B$	Численная мера возможности $B$

Пример 1. Условная вероятность по таблице

В школе провели контрольную работу по математике в двух 9-х классах. Результаты приведены в таблице:

Класс	Написали на «5»	Написали ниже «5»	Всего
9А	8	17	25
9Б	6	19	25
Всего	14	36	50

Случайно выбранный ученик написал работу на «5». Какова вероятность, что он из 9А?

Дано: $B$ = «ученик написал на 5», $A$ = «ученик из 9А». $P(B) = \dfrac{14}{50}$. $P(A \cap B) = \dfrac{8}{50}$ (ученик из 9А и написал на 5).

Формула: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Подстановка: $P(A \mid B) = \dfrac{8/50}{14/50} = \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$

Ответ: $P = \dfrac{4}{7} \approx 0{,}571$.

Пример 2. Извлечение без возвращения

В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Извлекают два шара подряд без возвращения. Какова вероятность, что второй шар белый, при условии, что первый был белым?

Дано: После первого извлечения белого шара в урне осталось 4 белых и 3 чёрных — всего 7 шаров.

Формула: $P(A_2 \mid A_1) = \dfrac{m_{бел\ после}}{n_{всего\ после}}$

Подстановка: $P(второй\ бел \mid первый\ бел) = \dfrac{4}{7}$

Ответ: $P = \dfrac{4}{7}$.

Пример 3. Проверка независимости

Используя данные таблицы из примера 1, проверьте, являются ли события «ученик из 9А» и «ученик написал на 5» независимыми.

Дано: $P(A) = \dfrac{25}{50} = \dfrac{1}{2}$. $P(A \mid B) = \dfrac{4}{7} \approx 0{,}571$.

Формула: События независимы, если $P(A \mid B) = P(A)$.

Подстановка: $P(A) = 0{,}5$, $P(A \mid B) \approx 0{,}571$. $0{,}5 \neq 0{,}571$.

Ответ: События зависимы — знание того, что ученик написал на 5, увеличивает вероятность, что он из 9А.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать $P(A \mid B)$ и $P(B \mid A)$. Это разные величины! В примере 1 $P(9А \mid 5) = 4/7$, а $P(5 \mid 9А) = 8/25 = 0{,}32$. Не переставляйте местами условие и событие.

⚠️ Вторая частая ошибка — забывать проверять $P(B) > 0$. Если $P(B) = 0$, условная вероятность не определена — нельзя делить на ноль.