Представление данных: таблицы, диаграммы, графики

Определение. Статистические данные

Статистические данные — это числовая информация о некоторой группе объектов или явлений. Чтобы сделать данные наглядными и удобными для анализа, их представляют в виде таблиц и диаграмм.

Варианта — каждое отдельное значение в наборе данных. Частота варианты — сколько раз это значение встречается. Относительная частота — доля данной варианты в общем объёме выборки:

$w_i = \frac{n_i}{n}$

где $n_i$ — частота варианты, $n$ — объём выборки (общее количество наблюдений).

Частотная таблица

Основной способ упорядочивания данных — частотная таблица. В первой строке (или столбце) перечисляют варианты, во второй — их частоты.

Варианта $x_i$	$x_1$	$x_2$	...	$x_k$
Частота $n_i$	$n_1$	$n_2$	...	$n_k$

Контроль: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n$ (сумма частот равна объёму выборки).

Столбчатая диаграмма

Столбчатая диаграмма — график, в котором каждому значению соответствует столбик. Высота столбика равна частоте (или относительной частоте) этого значения. Столбики не касаются друг друга — между ними есть промежуток.

Круговая диаграмма

Круговая диаграмма — круг, разделённый на секторы. Угол каждого сектора:

$\alpha_i = 360^\circ \cdot w_i = 360^\circ \cdot \frac{n_i}{n}$

Сумма углов всех секторов равна $360^\circ$.

Полигон частот

Полигон частот — ломаная линия, соединяющая точки $(x_i; n_i)$ в порядке возрастания $x_i$. Для построения на координатной плоскости отмечают точки и соединяют их отрезками. Полигон удобен для сравнения нескольких распределений на одном графике.

Пример 1. Построение частотной таблицы и диаграмм

Ученики 9 класса написали контрольную работу по математике. Получены оценки: 4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 4.

Дано: выборка из 20 оценок: 4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 4. $n = 20$.

Формула: $w_i = n_i / n$; $\alpha_i = 360^\circ \cdot w_i$.

Подстановка: считаем частоты: оценка 2 — 1 раз ($n_1=1$, $w_1=0.05$); оценка 3 — 5 раз ($n_2=5$, $w_2=0.25$); оценка 4 — 9 раз ($n_3=9$, $w_3=0.45$); оценка 5 — 5 раз ($n_4=5$, $w_4=0.25$). Проверка: $1+5+9+5=20$. Углы секторов: $2 \to 18^\circ$, $3 \to 90^\circ$, $4 \to 162^\circ$, $5 \to 90^\circ$.

Ответ: частотная таблица построена. На столбчатой диаграмме самый высокий столбик — оценка 4 (9 учеников). На круговой диаграмме сектор «4» занимает почти половину круга.

Пример 2. Построение полигона частот

По данным примера 1 построить полигон частот.

Дано: варианты $x_i$: 2, 3, 4, 5; частоты $n_i$: 1, 5, 9, 5.

Построение: на координатной плоскости отмечаем точки (2;1), (3;5), (4;9), (5;5). Соединяем их отрезками в порядке возрастания $x$.

Ответ: полигон частот показывает, что распределение оценок имеет пик на четвёрке — это модальный вариант.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать столбчатую и гистограмму. В столбчатой диаграмме столбики разделены промежутками (категории не связаны). В гистограмме столбики примыкают друг к другу (данные непрерывные, разбиты на интервалы). В 9-м классе мы работаем со столбчатыми диаграммами.